任意子
任意子
在石墨烯、量子霍爾效應等二維物理系統中任意子這個數學概念變得越來越有用。在三維以上的空間里，粒子根據其統計特性的不同只能是費米子或者是玻色子。費米子遵從費米-狄拉克統計，玻色子遵從玻色-愛因斯坦統計。在量子力學中這些統計是根據多粒子狀態下粒子交換的反應來描寫的。
在任何二維以上的空間里，自旋統計定理規定任何多粒子狀態都必須要麼遵循費米-狄拉克統計，要麼遵循玻色-愛因斯坦統計。這與n > 2的SO(n,1)基本群有關，其值為Z2（有兩個元素的循環群）。因此這裡只有兩個可能性（這裡的細節比上述的要複雜，但是最關鍵的原因是這個）。
在二維空間里情況發生了變化，這裡SO(2,1)的基本群是Z（無限循環）。這意味著自旋（2，1）不是通用覆蓋：它們不是單連通。詳細地說特殊正交群SO(2,1)的射影表示不僅僅有SO(2,1)或者其二重複蓋群旋量群自旋（2，1）的線性表示。而這些額外的表示被稱為任意子。
這個概念對非相對論系統也有效。關鍵是空間旋量群是有無限基本群的SO(2)。
這個事實也與紐結理論中著名的辮群有關。在二維中兩個粒子的排列群不再是對稱群S2，而是辮子群B2了。這樣也可以來理解這個問題。