分裂引理

給定一個具有映射 q 與 r 的短正合序列：

我們寫出映射（可能不存在）的箭頭 t 與 u：

下列陳述是等價的：

1. 左分裂 存在一個映射 t: B → A 使得 tq 是 A 的恆等； 2. 右分裂 存在一個映射 u: C → B 使得 ru 是 C 的恆等； 3. 直和 B 同構於 A 與 C 的直和， q 是 A 的自然內射而 r 是到 C 的投影。如果上述陳述成立，短正合序列成為分裂的。

這使我們可改進第一同構定理：

這一同構定理說在上述短正合序列中；如果序列分裂則，而第一同構定理恰是到 C 的投影。這是線性代數中秩-零化度定理（的形式）的一個範疇推廣。

首先證明 (3) 蘊含 (1) 與 (2)。我們假設 (3) 成立，取 t 為直和到 A 的自然投影，取 u 為 C 到直和的自然內射。

為了證明 (1) 暈含 (3)，首先注意到 B 中任何元素屬於集合 (ker t + im q)。這是因為對 B 中任意 b， b = ( b - qt( b)) + qt( b)； qt( b) 顯然屬於 im q，而 ( b - qt( b)) 屬於 ker t，因為

t( b - qt( b)) = t( b) - tqt( b) = t( b) - ( tq) t( b) = t( b) - t( b) = 0. 然後，im q 與 ker t 的交集為 {0}，因若存在 a 屬於 A 使得 q( a) = b 以及 t( b) = 0，則 0 = tq( a) = a；從而 b = 0。

這就證明了 B 是 im q 與 ker t 的直和。故對所有 b 屬於 B， b 可以惟一地等同於某個 a 屬於 A， k 屬於 ker t，使得 b = q( a) + k。

由正合性，ker rq = A，故 ker r = im q。子序列 B → C → 0 蘊含著 r 是映上的；從而對任意 c 屬於 C 存在某個 b = q( a) + k 使得 c = r( b) = r( q( a) + k) = r( k)。故對任意 c 屬於 C，存在 k 屬於 ker t 使得 c = r( k)，以及 r(ker t) = C。

如果 r( k) = 0，則 k 屬於 im q；因 im q 與 ker t 的交集 = {0}，則 k = 0。從而同態 r : ker t → C 的限制是一個同構；且 ker t 同構於 C。

最後 im q 同構於 A，因為 0 → A → B 的正合性；故 B 同構於 A 與 C 的直和，這就證明了 (3)。

類似地可證明 (2) 蘊含 (3)。 B 中任何元素屬於集合 ker r + im u；因為對所有 b 屬於 B， b = ( b - ur( b)) + ur( b)，這屬於 in ker r + im u。ker r 與 im u 的交集是 {0}，因若 r( b) = 0 以及 u( c) = b，則 0 = ru( c) = c。

由正合性，im q = ker r，以及 q 是一個內射，im q 同構於 A，故 A 同構於 ker r。由於 ru 是一個雙射， u 是一個內射，故 im u 同構於 C。所以 B 是 A 與 C 的直和。

這裡所述的形式，分裂引理在全群範疇中不成立，它不是一個阿貝爾範疇。

它是部分真的：如果一個群短正合序列是左分裂或是直和（條件 1 或 3），則所有條件成立。對直和這是清楚的，因為直和給出的內射與投影。對一個左分裂序列，映射 給出一個同構，故 B 是一個直和（條件 3），從而取此同構之逆並與自然內射 複合給出一個分裂 t 的內射（條件 2）。

但是如果一個短正合序列是右分裂的（條件 2），則未必是左正合的或是直和（條件 1 或條件 3 均未必成立）：問題是右分裂的像不必是正規的。在此情形 B 是一個半直積，一般不是一個直積。

為了構造一個反例，取最小非阿貝爾群，三個字母的對成群。設 A 為交錯子群，令。令 q 與 r 分別表示包含映射與符號映射，從而

是一個短正合序列。條件 (3) 部成立，因為 S3 不是阿貝爾群。但條件 (2) 成立：我們通過將生成元映到任意二階循環定義 u: C → B。注意條件 (1) 不成立：任何映射 t: B → A 必然將任何二階循環映為單位，由拉格朗日定理。但每個置換是兩個循環之乘積，故 t 是平凡映射，從而 tq: A → A 是平凡映射，而不是恆等於。

第一同構定理 秩-零化度定理 半直積