拉格朗日定理

數理科學定理

拉格朗日定理存在於多個學科領域中，分別為：微積分中的拉格朗日中值定理；數論中的四平方和定理；群論中的拉格朗日定理(群論)。

目錄

1流體力學 2微積分 3數論

流體力學

流朗

（ ）

開爾文定理可直接推論得到拉格朗日定理（Lagrange theorem），即漩渦不生不滅定理:

正壓理想流體在質量力有勢的情況下，如果初始時刻某部分流體內無渦，則在此之前或以後的任何時刻中這部分流體皆為無渦。反之，若初始時刻該部分流體有渦，則在此之前或以後的任何時刻中這部分流體皆為有渦。

描述流體運動的兩種方法之一：拉格朗日法

拉格朗日法是以研究單個流體質點運動過程作為基礎，綜合所有質點的運動，構成整個流體的運動。

以某一起始時刻每個質點的坐標位置（a、b、c），作為該質點的標誌。

任何時刻任意質點在空間的位置(x、y、z)都可以看成是（a、b、c）和t的函數

拉格朗日法基本特點:追蹤流體質點的運動

優點:可直接運用固體力學中質點動力學進行分析

微積分

在微積分中，拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形。

1.文字敘述

如果函數f(x)滿足：1)在閉區間[a,b]上連續；2)在開區間(a,b)內可導；那麼在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ

2.邏輯語言的敘述

若函數f(x)滿足：

f(x)∈C[a,b]；

f(x)∈D(a,b)；

則∑ξ∈(a,b),s,t

f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)

3.證明

令g(x)=[f(b)-f(a)]/(b-a)*(x-a)+f(a)-f(x)，那麼

1）g(x)在[a,b]上連續，

2）g(x)在(a,b)上可微（導），

3）g(a)=g(b)=0，由羅爾定理，存在一點ξ(a<ξ

數論

1.內容

四平方和定理（Lagrange's four-square theorem）說明每個正整數均可表示為4個整數的平方和。它是費馬多邊形數定理和華林問題的特例。注意有些整數不可表示為3個整數的平方和，例如7。

2.歷史

1.1743年，瑞士數學家歐拉發現了一個著名的恆等式：(a2+b2+c2+d2)(x2+y2+z2+w2)=(ax+by+cz+dw)2+(ay-bx+cw-dz)2+(az-bw-cx+dy)2+(aw+bz-cy-zx)2。根據上述歐拉恆等式或四元數的概念可知如果正整數m和n能表示為4個整數的平方和，則其乘積mn也能表示為4個整數的平方和。於是為證明原命題只需證明每個素數可以表示成4個整數的平方和即可。

2.1751年，歐拉又得到了另一個一般的結果。即對任意奇素數p，同餘方程x2+y2+1≡0(mod p)必有一組整數解x,y滿足0≤x＜p/2，0≤y＜p/2（引理一）。

至此，證明四平方和定理所需的全部引理已經全部證明完畢。此後，拉格朗日和歐拉分別在1770年和1773年作出最後的證明。

群論

拉格朗日定理是群論的定理，利用陪集證明了子群的階一定是有限群的階的約數值。

1.定理內容

敘述：設H是有限群G的子群，則H的階整除G的階。

定理的證明是運用H在G中的左陪集。H在G中的每個左陪集都是一個等價類。將G作左陪集分解，由於每個等價類的元素個數都相等，都等於H的元素個數（H是H關於e的左陪集），因此H的階（元素個數）整除G的階，商是H在G中的左陪集個數，叫做H對G的指數，記作[G:H]。

陪集的等價關係

定義二元關係~：a~b＜＝＞a-1b∈H。下面證明它是一個等價關係。

1)自反性：∨x∈G,x-1x=e∈H=>x~x；

2)對稱性：∨x,y∈G,x~y=>x-1y∈H，因此y-1x=(x-1y)-1∈H，因此y~x；

3)傳遞性：∨x,y,z∈A，(x~y∧y~z)=>x-1y∈H∧y-1z∈H因此x-1z=x-1y*y-1z∈H，因此x~z。

可以證明，(a-1b∈H)<=>(aH∧bH≠∅)<=>(aH=bH)。因此左陪集是由等價關係~確定的等價類。

拉格朗日定理說明，如果商群|G|/|H|存在，那麼它的階等於H對G的指數[G:H]。

|G|=[G:H]*|H|

上述寫法在為無限群時也成立。

2.推論

由拉格朗日定理可立即得到：由有限群G中一個元素a的階數整除群G的階（考慮由a生成的循環群）。

拉格朗日定理的逆命題並不成立。給定一個有限群G和一個整除G的階的整數d，G並不一定有階數為d的子群。最簡單的例子是4次交替群A4，它的階是12，但對於12的因數6，A4沒有6階的子群。對於這樣的子群的存在性，柯西定理和西洛定理給出了一個部分的回答。

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