離散變數

為了表達上的簡潔和方便，用變數表示隨機事件的所有可能的結果，稱為隨機變數。隨機變數的取值與對應的概率值之間的對應關係稱為概率分佈。變數就是可變的數量標誌。變數值就是變數的具體表現，也就是可變數量標誌的數值表現。例如，職工人數是一個變數；某工廠有工人852人，另一個工廠有工人743人，第三個工廠有工人802人，等等，這是工人這個變數的具體數值，也就是變數值。用統計符號表示，X是工人的變數，其變數值為。必須注意變數和變數值的區別。例如，有工人30人、40人、50人、60人等四個值，要求其平均數。這時，不能說是四個“變數”的平均，因為這裡只有“工人”這一個變數，並沒有四個變數；所以要平均的是這個變數的四個數值，即四個變數值。

變數按其數值表現是否連續，分為連續變數和離散變數。連續變數的數值是連接不斷的，相鄰兩值之間可作無限分割，例如，身高、體重、年齡等都是連續變數。年齡一般雖按整數計算，但如嚴格按出生時間起算，是可以細算到許多位小數的。連續變數的數值要用測量或計算的方法取得。離散變數的各變數值之間都是以整數斷開的，如人數、工廠數、機器台數等，都只能按整數計算。離散變數的數值只能用計數的方法取得。

可取值能一個個列出來的變數稱為離散變數，可取值能充滿一個區間的變數稱為連續變數。10名患者痊癒人數 及擲幣結果 是離散變數。正常人體溫的測定值 是連續變數。

10名患者，服用甲葯痊癒人數，服用乙葯痊癒人數也是，可見，僅有隨機變數的可取值無法全面反映藥效，還必須考慮取每一個值的概率。

定義1：設離散變數。事件 的概率稱X的概率函數，即

概率函數的對應值表稱概率函數表。圖像稱概率函數圖。概率函數及函數表、圖。都能反映離散變數與概率的對應關係，統稱離散變數的概率分佈，實際問題中簡稱為離散總體。

複雜事件 是基本事件的並事件其概率 稱為離散變數X的累積概率。

定理1若 為離散變數X的概率函數，則累積概率為概率函數之和，即

證明：由互斥事件加法定理可證。

定理1表示，在x為橫軸．p(x)為縱軸的概率函數圖中。累積概率 表示從 到 之間函數線的長度之和。

複雜事件 就是必然事件。從而得到。離散變數的全部函數線長度之和為1。

定義2 事件 的概率稱為隨機變數X的分佈函數。即

由定理1可知。離散變數X的分佈函數 是一種累積概率。等於 及其左邊函數線長度之和。即

離散變數的概率分佈，常用的有二項分佈、泊松(Poisson)分佈。其餘的還有兩點分佈、幾何分佈、超幾何分佈等概率分佈。

二項分佈是基於貝努里(Bernoulli)試驗的分佈。貝努里試驗是一種重要的概率模型。是歷史上最早研究的概率論模型之一。有下面兩個特點的試驗稱為貝努里試驗。即

(1) 對立性：每次試驗的結果只可能是A或；

(2) 獨立重複性：每次試驗的結果互不影響。且

擲幣(擲正與擲反)、射擊(擊中與不中)、動物試驗(存活與死亡)、藥物療效(有效與無效)、化驗結果(陽性與陰性)等。都是在重複進行貝努里試驗。

定義3 若隨機變數X的概率函數為

則稱X服從參數為n，p的二項分佈。記為或。

若在大量的貝努里試驗中，很小，則稱這種概率模型為稀有事件概率模型。生三胞胎次數、患癌症人數、自然死亡人數、水中的大腸桿菌數、大氣粉塵數、顯微鏡下微粒個數、放射粒子個數、大量產品中的次品數、搖獎中的一等獎等，都是稀有事件概率模型。

若隨機變數X的概率函數為

則稱X服從參數為的泊松分佈，記為或。

實際問題中，貝努里試驗在時，可認為是泊松總體，事件A出現的次數。在已知時取，在不全知時取=平均數/單元。

泊松分佈的概率函數圖在較小時是偏向一側的，隨著增大，概率函數圖逐漸對稱。

這裡，介紹離散變數的二點分佈、幾何分佈、超幾何分佈。

定義4：設離散變數X的概率函數為

則稱X服從參數為的二點分佈。

定義5：設離散變數X的概率函數為

則稱X服從參數為P的幾何分佈。

定義6：設離散變數X的概率函數為

則稱X服從超幾何分佈。