自由度

力學中，自由度指的是力學系統的獨立坐標的個數。力學系統由一組坐標來描述。比如一個質點在三維空間中的運動，在笛卡爾坐標系中，由x,y,z三個坐標來描述；或者在球坐標系中，由r,θ,ψ三個坐標描述，一般而言，N個質點組成的力學系統由3N個坐標來描述。但力學系統中常常存在著各種約束，使得這3N個坐標並不都是獨立的。對於N個質點組成的力學系統，若存在m個完整約束，則系統的自由度減為。

比如，運動於平面的一個質點，其自由度為2。又或是，在空間中的兩個質點，中間以線連接。所以其自由度。註：2個質點有3個位移方向，但具有一條線所形成的約束。

除了平移自由度外，還有轉動自由度及振動自由度。

完全確定一個物體在空間位置所需要的獨立坐標的數目，叫做這個物體的自由度。力學系統由一組坐標來描述。

據熱力學中的能量均分定理，每個自由度的能量相等（此處忽略了量子效應），都為（振動包括動能和勢能，所以振動能量為）。

單原子分子僅有3個平動自由度，所以分子平均能量為；

非剛性雙原子分子有3個平動自由度、2個轉動自由度、1個振動自由度，所以分子平均能量為；

非剛性n原子分子共有3n個自由度（n為原子個數，），包括3個平動自由度、3個（非線性分子，如）或2個（線性分子，如CO）轉動自由度、3n-6個（非線性分子）或3n-5個（線性分子）振動自由度，所以分子平均能量為或；

剛性分子則不用考慮振動。

但不能說每個分子的能量都是，這是統計規律。

1）一個質點在空間任意運動，需用三個獨立坐標（x，y，z）確定其位置。所以自由質點有三個平動自由度。

2）如果對質點的運動加以限制（約束），自由度將減少。如質點被限制在平面或曲面上運動，則；如果質點被限制在直線或平面曲線（不是空間曲線）上運動，則其自由度。

一個剛體在空間任意運動時，可分解為質心O’的平動和繞通過質心某直線的定軸轉動，它既有平動自由度還有轉動自由度。確定剛體質心O’的位置，需三個獨立坐標（x，y，z）—自由剛體有三個平動自由度。

確定剛體通過質心軸的空間方位──三個方位角（α，β，γ）中只有其中兩個是獨立的──需兩個轉動自由度；另外還要確定剛體繞通過質心軸轉過的角度θ──還需一個轉動自由度。這樣，確定剛體繞通過質心軸的轉動，共有三個轉動自由度。所以，一個任意運動的剛體，總共有6個自由度，即3個平動自由度和3個轉動自由度，即。

自由度是物體運動方程中可以寫成的獨立坐標數，單原子分子有3個自由度，雙原子、非線性三原子、線性三原子不考慮振動相當於剛體，分別有5個（3平2轉）、6個（3平3轉）、5個（3平2轉）自由度，考慮振動后，雙原子加1個，非線性三原子加3個，線性三原子加4個。

1）單原子分子：如氦He、氖Ne、氬Ar等分子只有一個原子，可看成自由質點，所以有3個平動自由度。

（2）剛性雙原子分子如氫、氧、氮、一氧化碳CO等分子，兩個原子間聯線距離保持不變。就像兩個質點之間由一根質量不計的剛性細桿相連著（如同啞鈴），確定其質心O’的空間位置，需3個獨立坐標（x，y，z）；確定質點聯線的空間方位，需兩個獨立坐標（如α，β），而兩質點繞聯線的的轉動沒有意義。所以剛性雙原子分子既有3個平動自由度，又有2個轉動自由度，總共有5個自由度。

3）剛性三原子或多原子分子：如、氨等，只要各原子不是直線排列的，就可以看成自由剛體，共有6個自由度，。若原子直線排列，如CO等，共有5個自由度，。

4）對於非剛性分子，由於在原子之間相互作用力的支配下，分子內部還有原子的振動，因此還應考慮振動自由度（以s表示）。如非剛性雙原子分子，好像兩原子之間有一質量不計的細彈簧相連接，則振動自由度。對於非剛性n原子分子（n>2），振動自由度（非線性）或（線性）。

一般在常溫下，氣體分子都近似看成是剛性分子，振動自由度可以不考慮。

力學系統由一組坐標來描述。比如一個質點的三維空間中的運動，在笛卡爾坐標系中，由x，y，z三個坐標來描述；或者在球坐標系中，由r，θ，φ三個坐標描述。

注意：此處的氣體分子自由度與在對氣體分子作熱力學能量分析的自由度不同，在做熱力學能量分析時還應考慮氣體之間的勢能變化，故會多出一個自由度。

熱力學中，自由度F是當系統為平衡狀態時，在不改變相對數目情況下，可獨立改變的因素（如溫度和壓力），這些變數的數目叫做自由度數。例如，液態水系統，可以在一定範圍內任意改變溫度和壓力，仍可保持單相的水不變，則該系統的自由度為2，記作。若系統是液態水與水蒸氣平衡共存，如果指定溫度，則系統壓力必須等於該溫度下的水的飽和蒸汽壓，否則系統中汽、液兩相就會有一相消失，這時壓力並不能任意選擇，故自由度數為1，即。也就是說，若系統保持汽-液共存的相態不變，溫度和壓力兩者中只能任意變動一個。因此自由度數實際上是系統的獨立變數數。

系統的自由度跟其他變數的關係

其中，F表示系統的自由度；C為系統的獨立組元數；P為相態數目；n為外界因素，多數取，代表壓力和溫度；對於熔點極高的固體，蒸汽壓的影響非常小，可取。

一容器內裝有個單原子理想氣體分子和個剛性雙原子理想氣體分子，當該系統處在溫度為T的平衡態時，其內能為：

其中，3、5分別為單原子理想氣體和雙原子理想氣體的自由度。