曲線斜率

如一輛汽車在10小時內走了 600千米，它的平均速度是，但在實際行駛過程中，是有快慢變化的，不都是60千米/小時。

為了較好地反映汽車在行駛過程中的快慢變化情況，可以縮短時間間隔，設汽車所在位置s與時間t的關係為，那麼汽車在由時刻這段時間內的平均速度是，當很接近時，汽車行駛的快慢變化就不會很大，平均速度就能較好地反映汽車在這段時間內的運動變化情況，自然就把極限作為汽車在時刻的瞬時速度，這就是通常所說的速度。

一般地，假設一元函數 在 點的附近內有定義，當自變數的增量時函數增量 與自變數增量之比的極限存在且有限，就說函數f在點可導，稱之為f在的導數（或變化率)。若函數f在區間I 的每一點都可導，便得到一個以I為定義域的新函數，記作 f'，稱之為f的導函數，簡稱為導數。函數點的導數的幾何意義：表示曲線l 在 點的切線斜率。一般地，我們得出用函數的導數來判斷函數的增減性的法則：設內可導。如果在則在這個區間是單調增加的。。如果在則在這個區間是單調減小的。所以，當時，有極大值或極小值，極大值中最大者是最大值，極小值中最小者是最小值。

導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率。

導數即表示函數在某一點的切線的斜率。例如，在時，，在時，，所以在時，的切線可看作與x軸平行。

研究某一函數的導數很重要，因為它的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率，而斜率直接關係到在某一個區間函數的增減性。

當對於任意都有時，函數是增函數。

而當對於任意都有時，函數是減函數。