序列空間

序列空間

在數學里,希爾伯特空間即完備的內積空間,也就是說一個帶有內積的完備向量空間。是有限維歐幾里得空間的一個推廣,使之不局限於實數的情形和有限的維數,但又不失完備性。序列空間(sequential space)是一類特殊的拓撲空間

序列空間定義


序列空間
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更一般的希爾伯特空間都是無窮維的,假設 是一個任意集合,可以定義其上的 序列空間,記為
序列空間
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此空間在定義如下內積后,成為一個希爾伯特空間:
序列空間
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其中 和 是 中的任意元素。在這個定義中,並非一定要是可數的,在 不可數之情形下,不是可分(separable)的。在下面更具體的例子中,所有的希爾伯特空間在選定適當的 的情況下,都可以表示成為 的一個同構空間。特別地,當 的時候,可以將其簡單記為。

常見空間定義


歐幾里得空間

序列空間
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及其上的內積
序列空間
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構成了一個希爾伯特空間,其中短橫線表示一個複數的復共軛。

勒貝格空間

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勒貝格空間( 這裡指 空間 )是指定義在測度空間上的函數空間,其中 代表函數的定義域,的元素是 上的子集族,為 一個 代數,一般把 稱作可測空間(measurable space),而 是 上的測度。
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更仔細的說, ( 簡寫做 ) 表示 上所有平方可積(square-integrable)的複數值的可測函數的集合。平方可積表示該函數的絕對值的平方的積分是有限的。要注意的是在 空間里,對於幾乎處處( almost everywhere )相同的函數,也就是說如果兩函數只在一個測度為0的集合上不相等,我們把這兩函數當做在 中相同的元素。
此時兩個函數f和g的內積定義為
序列空間
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因為,所以這內積的定義沒有問題。
但需要證明的是:
• 此空間在此內積下是完備的。
序列空間
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這個證明可以在相關的書籍中找到,與此例相關的內容可以參看關於空間的著作。

索伯列夫空間

序列空間
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索伯列夫空間一般表示為或者是希爾伯特空間的另一個重要實例,它多被應用於偏微分方程的研究。