二階微分方程

二階微分方程的一般形式是

其中，是自變數，是未知函數，是的一階導數，是的二階導數。

在有些情況下，可以通過適當的變數代換，把二階微分方程化成一階微分方程來求解。具有這種性質的微分方程稱為可降階的微分方程，相應的求解方法稱為降階法。下面介紹三種容易用降階法求解的二階微分方程。

1）型

方程特點：右端僅含有自變數，逐次積分即可得到通解，對二階以上的微分方程也可類似求解。

例1 求方程的通解。

解：原方程兩邊積分兩次，得通解

其中，為任意常數。

2）型

方程特點：右端函數表達式中不含有未知函數y。

由於也是的未知函數，可設，則原方程可降階為

這是關於p的一階微分方程，可求通解。

3）型

方程特點：右端函數表達式中不含有自變數。

令，利用複合函數求導法則

原方程變為關於的一階方程

一般形如

（其中，是的函數）的方程稱為二階常係數線性微分方程。

當時，方程

稱為二階常係數線性齊次微分方程；否則，方程（1）稱為二階常係數線性非齊次微分方程。

1）二階常係數線性齊次微分方程的解

定理1（線性齊次微分方程通解的結構定理）如果函數與是(2)的兩個線性無關的解，則函數

是齊次方程（2）的通解。（其中，為兩個獨立的任意常數）

微分方程 的通解與其特徵根的關係見下表1。

2）二階常係數線性非齊次微分方程的解

定理2（線性非齊次微分方程通解的結構定理）如果是非齊次微分方程（1）的一個特解，而是對應的齊次微分方程（2）的通解，則是方程（1）的通解。

對於比較簡單的情形，可以用觀察法找特解。但對於比較複雜的情形就不太容易了。為此，下面對於的幾種常見形式，以表2列出找其特解的方法（待定係數法）（表2中為已知的多項式）。