工程數學

本書分為上、下兩冊，共20章． 上冊包括線性代數和複變函數，下冊包括概率論、數理統計和積分變換．上冊共9章，分別為矩陣及其應用、線性方程組、向量組的線性相關性、向量空間及正交性、對稱矩陣的相似性及二次型、複變函數微分、複變函數積分、級數、留數定理及其應用. 為更好地啟發讀者的思維，本書增添了大量的知識產生背景的內容．

本書內容豐富，結構嚴謹，突出實際運用，可作為高等工科院校本科生數學基礎課教材，也可作為工程技術人員的參考書．

第一部分 線 性 代 數

第一章 矩陣及其應用 2

1.1 矩陣的概念 2

一、高斯消元法 2

二、矩陣的定義 3

三、特殊矩陣 5

1.2 矩陣的基本運算 7

一、矩陣的線性運算 8

二、矩陣的乘法 10

三、方陣的冪 12

四、矩陣的轉置 12

1.3 矩陣的分塊 14

一、分塊矩陣的概念 14

二、分塊矩陣的運算 15

三、分塊對角矩陣及其性質 17

1.4 矩陣的初等變換 17

一、矩陣的初等變換 19

二、初等矩陣 21

1.5 矩陣的其它應用 23

一、表格數據的矩陣表示 23

二、鄰接圖的矩陣表示 24

三、矩陣運算應用實例 25

本章基本要求及重點、難點分析 25

一、基本要求 25

二、重點、難點分析 26

習題一 26

第二章 線性方程組 28

2.1 線性方程組的初等變換求解法 28

一、線性方程組及其解 28

二、初等變換法求解線性方程組 28

2.2 線性方程組的行列式求解法 33

一、行列式的定義 33

二、行列式的性質 38

三、行列式的計算 43

四、克拉默法則求解線性方程組 46

2.3 線性方程組解的判定定理 48

一、矩陣的秩 49

二、線性方程組解的判定定理 52

2.4 逆矩陣 58

一、可逆矩陣的定義 58

二、可逆矩陣的性質 59

三、可逆矩陣的計算 59

2.5 矩陣方程 65

本章基本要求及重點、難點分析 67

一、基本要求 67

二、重點、難點分析 67

習題二 68

第三章 向量組的線性相關性 75

3.1 向量及向量組 75

一、向量及其運算 75

二、向量組及其線性運算 76

3.2 向量組的線性相關性 78

一、線性相關性的定義 80

二、線性相關性的判定 80

三、向量組與其部分組的線性相關性 81

3.3 向量組的秩 83

一、最大無關組和秩的定義 83

二、最大無關組和秩的求法 84

三、向量組之間秩的關係 86

3.4 線性方程組的通解結構 87

一、齊次線性方程組的通解結構 88

二、非齊次線性方程組的通解結構 91

本章基本要求及重點、難點分析 93

一、基本要求 93

二、重點、難點分析 93

習題三 94

第四章 向量空間及正交性 96

4.1 向量空間的定義 96

4.2 向量空間的基與坐標 97

4.3 向量的內積 102

4.4 向量組的正交性 103

本章基本要求及重點、難點分析 109

一、基本要求 109

二、重點、難點分析 109

習題四 110

第五章 對稱矩陣的相似性及二次型 111

5.1 方陣的特徵值與特徵向量 111

5.2 實對稱矩陣的相似對角化 116

5.3 二次型及其標準形 123

一、二次型及標準形的概念 124

二、用正交變換化二次型為標準形 127

三、用配方法化二次型為標準形 132

5.4 正定二次型 133

一、正定二次型的概念和性質 133

二、正定（負定）二次型在多元函數求極值中的應用 136

本章基本要求及重點、難點分析 136

一、基本要求 136

二、重點、難點分析 137

習題五 138

第二部分 復 變 函 數

第六章 複變函數微分 142

6.1 複數與複變函數 142

一、複數及其表示 142

二、複數的代數運算 145

三、複數的幾何表示 147

四、區域 150

五、複變函數的定義 153

六、映射的概念 154

6.2 複變函數的極限和連續 156

一、複變函數的極限 156

二、複變函數的連續性 158

6.3 解析函數 158

一、複變函數的導數和微分 158

二、解析函數的概念 161

三、解析函數的充要條件 162

6.4 初等函數 166

一、指數函數 166

二、對數函數 167

三、冪函數 169

四、三角函數和雙曲函數 171

本章基本要求及重點、難點分析 172

一、基本要求 172

二、重點、難點分析 172

習題六 174

第七章 複變函數積分 177

7.1 複變函數積分的概念 177

一、複變函數的積分 177

二、積分計算 178

7.2 解析函數的基本定理 180

一、CauchyGoursat基本定理 180

二、複合閉路定理 181

三、Cauchy積分公式 182

7.3 原函數與不定積分 184

7.4 解析函數的高階導數 186

7.5 解析函數與調和函數的關係 188

本章基本要求及重點、難點分析 189

一、基本要求 189

二、重點、難點分析 190

習題七 191

第八章 級數 193

8.1 Taylor級數 193

一、複數列的極限 193

二、複數項級數 194

三、函數項級數 195

四、冪級數 196

五、Taylor級數 199

8.2 Laurent級數 202

一、Laurent展開式 203

二、應用 207

本章基本要求及重點、難點分析 208

一、基本要求 208

二、重點、難點分析 208

習題八 209

第九章 留數定理及其應用 211

9.1 孤立奇點 211

一、孤立奇點的分類 211

二、函數的零點與極點的關係 212

三、函數在無窮遠點的性態 214

9.2 留數 215

一、留數的定義與留數定理 215

二、留數的計算規則 217

三、無窮遠點的留數 219

9.3 應用留數計算實積分 220

本章基本要求及重點、難點分析 223

一、基本要求 223

二、重點、難點分析 223

習題九 224

習題參考答案 226

參考文獻 239