餘數定理
多項式除以一線性多項式的余式
餘數定理（Polynomial remainder theorem）是指一個多項式f(x) 除以一個線性多項式(x-a)的餘數是 f(a)。若f(a)=0，則(x-a)為多項式f(x)的因式。例如，(5x³+4x²-12x+1)/(x-3) 的余式是 5·3³+4·3²-12·3+1=136。
設n為大於1的奇數，當連續整數列：0，1，2，3，…，n-1各項都分別乘以一個與n互素的自然數m，再除以n后，若把所得餘數按從小到大的順序排列起來仍為0，1，2，3，……，n-1共n項的連續整數列。
多項式除以所得的餘數等於。
推論：
根據除法的定義及性質可知，。
設多項式 除以一次式 所得的商為，餘數為R，根據上面的性質可以列出下列恆等式：
令，代入上式即得，因此得到結論：除以 后的餘數。
注意：若除式不為 的類型，依然可以利用上面的方法來求餘數（式），即先求出使除式為0的x的值，再代入恆等號兩邊。
設 是 n 個不同的數，而，對任意多項式 用除所得 的余式為
例：求 的餘數。
解：在這裡，使除式為 0的，所以餘數為。
例1：求 的余式。
解：由於除式是2次多項式，所以設余式為（余式的次數要比除式低1）。
的解為 或，代入恆等式 的兩邊得：
解得。
故余式為
例2：求 的余式。
解：除式的次數為3，所以設余式為。由於的解為或，代入恆等式得：
出現等式個數少於待定係數的個數時需要把恆等式兩邊對x求導，再把解代入求導后的等式中。
對 左右兩邊求導得
再把代入，得到第三個等式：
解方程組得
所以余式為
因式分解
解：易知當時，。當 與 時亦有
∴將多項式展開后應含有因式
設原式，則展開后比較係數可得：
∴原式
如果數a是多項式的根(即)，那麼用去除這個多項式沒有餘數。
例如，從這個定理可以知道，用去除多項式，沒有餘數,事實上，用a代替x得到。建議讀者證明：多項式和能被除盡。
餘數定理可以用來求餘數，要求除以一次式時，只需以b代入多項式f(x)中的x即得，在計算時以用綜合除法為便。餘數定理主要用於分解因式，若能檢驗出有一個常數b能使，則就有了一個因子在解方程的過程中，可以逐次用視察法與綜合除法結合，求出的一個因式，就可以將求解的方程次數降低一次。
一盤圍棋下完后，同學甲突然問同學乙:“棋盤上黑子有多少?”同學乙將棋盤上黑子數了一下，似乎有所悟，只是說:“如果三個三個地數，最後餘下兩個，五個五個地數，最後餘下三個，七個七個地數，最後餘下四個。棋盤上黑子的數目正好符合這個情況。”說完他們倆都會心地笑了。
棋盤上黑子到底有多少個呢?原來他們正好碰上類似《孫子算經》中講到的一道題了。《孫子算經》是我國古代的一部優秀數學著作。對這類問題，我國古代數學史上還稱為“鬼谷算”、“秦王暗點兵”、“剪管術”、“隔牆算”、“神奇妙算”、“大行求一術”等等。
這個問題的解法並不難。用數學語言敘述這道題就是:
某數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘4，求某數。我們先來考慮一下什麼數除以3餘2?很清楚，既然2是餘數，那麼把2再加上3得5，5除以3還是餘2。繼續這樣做，得8，它除了除以3餘2外，而且除以5餘數是3。8是同時滿足上述問題中，“三個三個地數，最後餘下兩個，五個五個地數，最後餘下三個”這兩個條件的。最後再在8這個數上每次加15(3和5的最小公倍數)。
，
，
。
我們發覺53不但除以3餘2，除以5餘3，而且被7除餘4。這樣答數就是53了。當然，53是符合上述問題要求的最小一個正整數，除此之外還有；
，
。
等等，它們都有此性質。一個棋盤上共有192=361格，這兩位同學經過了一百多次來回的廝殺，才宜告戰鬥結束。於是可以知道棋盤上黑子共有158個。這個問題的解題思路是，先從用3去除餘2的數中去找用5去除餘3的數，再從“3除餘2，5除餘3”的數中去找用7去除餘4的數，並得到答數。古人經過精心研究，找出解題規律，並用口訣形式來表示；
“三人同行七十稀，
五樹梅花廿一枝，
七子團圓正半月，
除百零五便得知。”
它的意思是:用70乘“3除”所得的餘數，21乘“5除”所得的餘數，15乘“7除”所得餘數，然後總加起來。如果它大於105，則減105，還大再減，直到最後得到答數。
具體算式是 :
，
。
這裡挑選了70，21，15去乘餘數，主要是考慮到70是3除餘1，5與7都除盡的數；21是5除餘1，3與7都除盡的數；15是7除餘1，3與5都除盡的數；而105又是3，5，7都能除盡的數。
有了這個口訣后，我們可以做各種各樣餘數的這一類題目了。不妨再舉一例:某數除以3餘1，除以5餘2，除以7餘6，求某數。
具體演演算法如下；
，
。
所以某數是97。驗算一下果真不差。
基本信息
- 中文名
- 餘數定理
- 外文名
- Remainder Theorem
- 定義
- 多項式除以一線性多項式的余式
- 學科
- 數學
- 用於
- 求餘數；因式分解
- 定理內容
- 多項式f(x)除以x-a的餘數是f(a)
- 屬性
- 定理