循環數

最廣為人知的循環數是142857.其循環如下：

為了確認一個數是否是循環數，需要保證這個數是乘連續的若干個數后發生循環。因此，076923不會被認為是一個循環數，即使它各位循環后的數都是它的倍數。

以下這些數比如是循環數；

1、單獨的一位數，如5

2、單位重複的數，如555

3、循環數的重複，如142857

如果前導0不被允許，142857將是唯一一個十進位循環數。如果允許前導0，前幾個循環數是：

142857 (6位)

0588235294117647 (16位)

052631578947368421 (18位)

0434782608695652173913 (22位)

0344827586206896551724137931 (28位)

0212765957446808510638297872340425531914893617 (46位)

0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 (58位)

016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 (60位)

循環數與單位分數的循環小數表示形式有關。一個長為的循環數在數字上是的循環節。相反的，如果(是質數）的循環節長度為，它的循環節在數字上就是一個循環數。

由循環數與單位分數的關係可得，循環數有這樣的形式其中是數基（對於十進位，），而是一個不是的倍數的質數（能產生循環數的質數被稱為全循環質數）

例如，時會產生142857.

不是所有的會根據這個公式產生循環數。例如當時會產生076923076923。這些失敗的例子總包含重複的數。

前幾個產生十進位循環數的質數包括（OEIS中的數列編號為A001913）

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983 …

這個數列中所有的數滿足10是的模原根，Emil Artin猜想稱37.395..%的質數屬於這個數列。

循環數可以用程序構造，偽代碼如下（其中的定義上文已給出）

這個程序通過使用長除法計算的數位構造。是每一步的餘數，是產生的數。

若 , 則這個數必定為循環數, 無需繼續計算後面部分了。

乘以產生一個循環數的質數時，結果會是一系列的9.如。

如果將其按位劃分成若干等長份並加在一起，結果會是一系列的9.這是Midy定理的特殊情況。如所有的循環數都是9的倍數。

01

0011

0001011101

000100111011

000011010111100101

0121

010212

0011202122110201

001102100221120122

0002210102011122200121202111

八進位

25

1463

0564272135

0215173454106475626043236713

0115220717545336140465103476625570602324416373126743

十二進位

2497

186A35

08579214B36429A7

3A6LDH

248HAMKF6D

1L795CN3GEJB

19M45FCGNE2KJ8B7

可以證明當 為完全平方數時，不存在長度超過1的循環數。