隨機點過程

隨機點過程(stochastic point process or ran-dom point process)簡稱點過程一類數學模型。它是描述按一定統計規律在空間X中隨機地分佈的一些點的數學模型。粗略地說，隨機點過程就是隨機的點分佈。現實生活中存在著許多這樣的隨機現象，其中人們所關心的隨機事件具有高度局部化的特點，亦即事件的發生可以認為只限於在時間或空間(統稱為狀態空間並記為壓侖產)中的一個很小的範圍內，因此在數學上可以用一個理想化的點來表示.

最常見的情形是狀態空間取為實數直線或它的非負部分.因為實數有大小先後的次序，故這樣的點過程又稱為(隨機)事件序列或事件流.

在數學上也可以把隨機點過程定義為一類特殊的隨機測度—隨機計數測度(簡稱計數測度).如同在“隨機測度”條中所述，設是滿足第二可數公理的局部緊德國數學家豪斯多夫(Hausdorf f , F.)空間。定義在上的波萊爾代數上的計數測度是在緊集上為有限的非負整值測度，人們用表示它們的全體，表示上(關於淡拓撲)的波萊爾代數。於是，上的一個隨機點過程就是從基本概率空間到中的一個可測映象。注意對任意固定的。是一計數測度。由於，故隨機點過程是特殊的隨機測度。又若是一隨機點過程，則對任意誘導出可測空間上的一個概率測度，並稱其為的分佈。由於和它的分佈是一一對應的，故又可把一個隨機點過程定義為可測空間上的一個概率測度。注意上面定義的點過程是局部有限的，即過程在的任意緊集(當或的一個子集時，緊集可用有界集代替)中的點數一定是有限的.

對於狀態空間是的隨機點過程(不失一般性，可設在時刻。沒有點發生)，人們可以把它的點按從小到大的順序排列為，並用隨機變數序列{}或由，定義的點間間距序列{}表示該點過程。另一方面，若以N(t)記過程在區間中發生的點數，則{}是一計數過程；若給定了一計數過程{}，則通過

可確定一點列{}(如前，令).由於這種一一對應關係，人們在數學上往往把一個點過程和相應的計數過程看做是等同物(參見“隨機測度”和“計數過程”).