波動力學

量子力學的兩大形式之一，由薛定諤創立，與海森伯等人創立的矩陣力學並列。

根據微觀粒子的波動性建立起來的用波動方程描述微觀粒子運動規律的理論，量子力學理論的一種表述形式。1924年，L.V.德布羅意提出微觀粒子具有波動性的假設。1926年，E.薛定諤在此基礎上提出微觀粒子運動滿足的波動方程，用於解決氫原子問題獲得成功，後來用於其他問題，並發展了完善的近似計算方法。與運用矩陣作為數學工具的矩陣力學相比，波動力學使用比較熟悉的波動語言和偏微分方程，比較適合於初學者，在量子理論的基本應用中最常使用的也是這種形式。

按照德布羅意的觀念，和每個粒子相聯繫的，都有一個波。怎麼理解粒子性和波動性之NJ的聯繫，這是 量子力學首先碰到的一個根本問題。

能否認為波由粒子所組成？答案是否定的。因為粒子束的單縫或雙縫等實驗表明，若減小入射粒子流的強度，讓粒子近似地一個一個地從粒子源射出，實驗發現，雖則開始時底片上的感光點是無規則的，但只要時間足夠長，感光點足夠多，底片上仍會出現衍射花樣。這說明，粒子的衍射現象與是否有其他粒子無關。如果波由粒子組成，波的干涉、衍射等現象必然依賴於粒子間的相互作用。這和上述實驗結果矛盾。實際上，單個粒子也有波動性。

那麼，能否認為粒子由波所組成。比方，是否可以認為粒子就是波包？答案也是否定的。以自由粒子為例。對於自由粒子，由於不受外力場的作用，粒子的能量E和動量P均為常矢量。按德布羅意關係(1.4.1)和(1.4. 2)式，和自由粒子相聯繫的波的頻率，波矢k均為常數及常矢量。因此和自由粒子相聯繫的波是平面波。

其振幅A與坐標無關。因此它充滿全空間。若認為自由粒子由波組成，則一個自由粒子將佔據整個空間，這當然是不合理的。而且，自由粒子的德布羅意波的相速度是k的函數，按必然存在色散。如果把自由粒子看成是個物質波包，即使在真空中，也會因為存在色散而使粒子自動解體。這當然與實際情況不符。

在歷史上，對波粒二象性和波函數的解釋，一直是有爭議的。即使到現代，也仍然有不同觀點。而且持不同觀點的人有些還是量子力學的奠基人之一。但被物理學家們普遍接受的波函數的解釋是玻恩(M. Barn)提出的統計解釋。他認為，粒子在衍射或干涉實驗中所揭示的波動性質，既可以看成是大量粒子在同一個實驗中的統計結果，也可以認為是單個粒子在許多次相同實驗中顯示的統計結果。感光底片在r處的強度，與打在該點的粒子數成正比，也和波函數在該點的振幅的絕對值的平方成正比。波函數所刻劃的實際上是粒子在某時刻在空間的幾率分佈。事實上，通常波動性總是指某種物理量在空間的分佈呈周期性變化，並且由於波的相干疊加，而出現干涉和衍射等現象。而在玻恩的統計解釋中，他保留了波的最重要的特性一一相干疊加，不過，他把“某種物理量”改為“粒子出現的幾率”。玻恩提出的波函數統計解釋是：波函數在某一時刻在空間中某一點的強度，即其振幅絕對值的平方和在這一點中找到粒子的幾率成正比，和粒子相聯繫的波是概率波。

量子力學對粒子運動狀態的描述與經典力學完全不同。在經典力學中，粒子的坐標和動量有完全確定的數值，並且一旦給定某一時刻粒子的坐標和動量，則不但在該時刻粒子的狀態完全確定，而且原則上還可以通過求解牛頓方程確定以後任何時刻的坐標和動量，從而確定以後任何時刻粒子的狀態。但在量子力學里，粒子的運動狀態用波函數描述。在某一量子態中測量坐標和動量，一般地，坐標和動量不同時具有確定值。以平面波為例，平面波的動量p有完全確一定的數值，但它的振幅與空間坐標無關，粒子在空間各點出現的幾率密度相等。換句話說，粒子的位置坐標是完全不確定的。一般說來，在量子力學中，除非必ψ(r,t)是平面波，否則在以ψ(r, t)描述的粒子的量子態中測量動量p，將無確定值。因此，在任一量子態ψ(r,t)中測量動量，由於每一個確定的動量都對應一個確定的單色平面波，故而實際上等於是將ψ(r,t)按對應於各種動量的平面波展開，將ψ(r,t)視為由各種單色平面波疊加而成的波。從數學上看，相當於對φ（r,t）作傅里葉展開。

在傅里葉展式中，每個分波都是單色平面波，都有確定動量。在物理上，傅里葉展開相當於作頻譜分析。(2.2.1)式中的展開系C(p,t)，表示用各種相應的平面波疊加出ψ(r,t)時，各種平面波得幾率幅，或者說，在ψ(r,t)中，出現動量為p,能量為E的單色平面波的幾率是。

在量子力學中，既可以用ψ(r,t)描述粒子的量子態，也可以用C(p,t)描述粒子的量子態。因為按量子力學，給出在t時刻，在r處粒子出現的幾率密度。由這個幾率密度，原則上可以算出在以ψ(r,t)描述的態中的各種可觀#11量的平均值。同樣，給出在t時刻，動量為p的幾率密度。利用C(p,t)，原則上也可算出在同一量子態中的各種可觀測量的平均值。所不同的只是ψ(r,t)是量子態在以r為自變數，在坐標空間中的表示，而C(p,t)是量子態在以p為自變數，在動量空間中的表示。它們是同一個量子態在兩個不同表象中的不同表示。這兩種表示是完全等價的。

在經典力學中，體系運動狀態隨時間的變化遵循牛頓方程。牛頓方程是關於變數。的二階段微分方程，方程的係數只含有粒子的內察物理量—質量，。一旦初始條件給定，方程將唯一地決定以後任何時刻的運動狀態。

在量子力學中，體系的運動狀態由波函數到r,t)描述。和經典力學類似，也可以建立一個決定必(r,t)隨，變化規律的方程式。從物理上看，這個方程必須滿足下述條件:

(1)由於波函數滿足態疊加原理，而態疊加原理對任何時間都成立，因此描寫波函數隨時間變化的方程必然是線性方程。

(2)方程的係數必須僅含有諸如質量m，電荷e等內察物理量，不應含有和個別粒子運動狀態的特定性質有關的量，比如動量

P等。另外，方程的係數應含有普朗克常數，以表徵這一方程確是

描述普朗克常數起決定作用的微觀世界中粒子的運動方程。

(3)因為波函數滬的變數是r, t,因此它必然是個關於r和t的偏微分方程。我們要求這個微分方程不高於二階，以便一旦初始條件和邊界條件給定后，方程能唯一地確定以後任何時刻的波函數。因為根據數學物理方法中的史斗姆一劉維定理，二階正規的偏微分方程的解，存在唯屍一性定理成立。

(4)由於經典力學是量子力學的極限情況，因此這個方程必須滿足對應原理：當A~。時，它能過渡到牛頓方程。

(5)對於自由粒子這一特殊情況，方程的解應是平面波。

當然，只有這些條件，不足以惟一地決定所需要的描述隨時間變化的方程。上面的這些條件，只為建立方程提供了一些必要的條件，可建立方程以啟迪。

舊的力學理論相當於光學中用彼此孤立的光線來處理問題，新的波動力學相當於光學中用波動理論處理問題。物質波在波動力學過程中的作用於光波在光學過程中的作用一樣。從舊的理論轉變到新的理論的標誌之一是引入了與光的衍射現象十分類似的現象。引入這種現象並不顯得那麼重要，否則舊的力學就不會長時期地得到認可。但是如果整個力學系統的大型可以與“物質波”的波長相比，那麼被忽略的現象就將會很清楚地顯現出來，並且對力學過程有很大影響。這些現象對於舊的理論來說是難解之謎。

因此，在像原子這樣的微小系統中，舊的理論註定要失敗。但所有在量子世界出現的奇怪的現象都可由新的波動理論中推出。為了解釋這些現象，曾經有很多附加條件被迫被強加於舊理論，以解釋觀察到的事實，但這些條件的添加顯得十分牽強。

對於為什麼原子的直徑與假設的物質波的播出具有幾乎相同的數量級，薛定諤認為這既不是純粹的巧合，也不是特殊的假設，而是可以從波動理論中自然地得出的。這是因為如果把干涉區（即衍射暈）與原子等同起來，原子實際上純粹是被原子核俘獲的電子波的衍射現象。波動力學用了極少的假設就解決了各種理論問題。

薛定諤創建波動力學主要是運用類比的方法來建立的。英國的哈密頓比較早就對力學和光學進行了類比。光學中的費馬定理（光走的路程最短）同理論力學中的最小作用量原理（物質沿最短的途徑自由運動）是很相似的，因此認為可以將光學和力學聯繫起來。在光學中有牛頓的幾何光學和惠更斯的波動光學。薛定諤又進一步想，既然力學和光學相似，光學中有幾何光學和惠更斯的波動光學，而物質皆有波動性，那就應當有波動力學。他說：“從通常的力學走向波動力學的一步，就像光學中用惠更斯理論來代替牛頓理論所邁進的一步相類似。我們可以構成這種象徵性的比例式：通常力學：波動力學=幾何光學：波動光學。

波動力學的出發點是波函數。因為微觀粒子具有波粒二象性，所以在描述粒子時，就必須對波動性與微粒性作出統一的描述。這種描述就用波函數表示。薛定諤先求出自由粒子所滿足的運動方程，然後再把它推廣到粒子受到場作用的情形，就得到薛定諤方程。

如果能夠完全拋棄舊的體系而代之以新的體系，波動力學就不存在問題，但是事實並非如此。這是因為按照波動力學，對於粒子而言，有無限條可能的軌道，而沒有一條軌道比其他軌道更加優越，成為個別情況下的真實運行軌道。但是，我們確實看到過單個粒子的軌道。波動力學對此無法準確解釋。因此，儘管薛定諤和愛因斯坦一樣極力反對“上帝擲骰子”這種觀點，但是波動力學也無法否定粒子的不確定性。

薛定諤(1887～1961)，奧地利理論物理學家，是波動力學的創始人。薛定諤1887年8月12日生於維也納一個油布工廠主的家庭。他的科學成就有：

（1）創立波動力學：

除了較少的實驗性研究外，薛定諤教授實際上把全部注意力都集中於理論物理學問題的研究。1924年，法國物理學家德布羅意首先提出了物質波理論，即一切微觀粒子，象光一樣也都具有波粒二象性。在這一理論的基礎上，薛定諤於1926年獨立地創立了波動力學，提出了薛定諤方程，確定了波函數的變化規律。這與海森伯等人幾乎同時創立的矩陣力學成為量子力學的雙胞胎。這些理論現在已成為研究原子、分子等微觀粒子的有力工具，並奠定了基本粒子相互作用的理論基礎。薛定諤的理論，與海森伯所發展的形式不同，這個理論的數學式子便於實際應用。儘管形式上好象兩種完全不同的理論，但是薛定諤能夠證明它們在數學上是等價的。薛定諤波動方程提出之後，在微觀物理學中得到了廣泛的應用。薛定諤的許多科學論著中，以1927年和1928年發表的《波動力學論文集》和《關於波動力學的四次演講》最為著名。對於固體的比熱、統計熱力學、原子光譜、鐳、時間與空間等方面，他都發表過研究論文。

（2）推動分子生物學的發展：

1944年，薛定諤還發表了《生命是什麼？——活細胞的物理面貌》一書（英文版，1948；中譯本，1973）。在此書中，薛定諤試圖用熱力學、量子力學和化學理論來解釋生命的本性，引進了非周期性晶體、負熵、遺傳密碼、量子躍遷式的突變等概念。這本書使許多青年物理學家開始注意生命科學中提出的問題，引導人們用物理學、化學方法去研究生命的本性，使薛定諤成了今天蓬勃發展的分子生物學的先驅。

（3）薛定諤對哲學有濃厚的興趣。早在第一次世界大戰時期，他就深入研究過B．斯賓諾莎、A．叔本華、E．馬赫、R．西蒙、R．阿芬那留斯等人的哲學著作。晚年，他致力於物理學基礎和有關哲學問題的研究，寫了《科學和人文主義——當代的物理學》（英文版，1951）等哲學性著作 。