谷山－志村定理

雖然名字是從谷山-志村猜想而來，定理的證明是由安德魯·懷爾斯、Christophe Breuil、Brian Conrad、Fred Diamond和理查·泰勒完成。

若 p是一個質數而 E是一個 Q（有理數域）上的一個橢圓曲線，我們可以簡化定義 E的方程模 p；除了有限個 p值，我們會得到有 np個元素的有限域 Fp上的一個橢圓曲線。然後考慮如下序列

ap = np − p

,這是橢圓曲線 E的重要的不變數。從傅里葉變換，每個模形式也會產生一個數列。一個其序列和從模形式得到的序列相同的橢圓曲線叫做 模的。谷山-志村定說:

"所有 Q上的橢圓曲線是模的"。

該定理在1955年9月由谷山豐提出猜想。到1957年為止，他和志村五郎一起改進了嚴格性。谷山於1958年自殺身亡。在1960年代，它和統一數學中的猜想郎蘭茲綱領聯繫了起來，並是關鍵的組成部分。猜想由安德烈·韋伊於1970年代重新提起並得到推廣，韋伊的名字有一段時間和它聯繫在一起。儘管有明顯的用處，這個問題的深度在後來的發展之前並未被人們所感覺到。

在1980年代當Gerhard Frey建議 谷山-志村猜想（那時還是猜想）應該蘊含費馬最後定理的時候，它吸引到了不少注意力。他通過試圖表明費爾馬大定理的任何範例會導致一個非模的橢圓曲線來做到這一點。Ken Ribet後來證明了這一結果。在1995年，安德魯·懷爾斯和理查·泰勒證明了谷山-志村定理的一個特殊情況(半穩定橢圓曲線的情況)，這個特殊情況足以證明費爾馬大定理。

完整的證明最後於1999年由Breuil、Conrad、Diamond和Taylor作出，他們在懷爾斯的基礎上，一塊一塊的逐步證明剩下的情況直到全部完成。

數論中類似於費爾馬最後定理得幾個定理可以從谷山-志村定理得到。例如：沒有立方可以寫成兩個互質n次冪的和, n ≥ 3。（ n = 3的情況已為歐拉所知）

在1996年三月，懷爾斯和羅伯特·郎蘭茲分享了沃爾夫獎。雖然他們都沒有完成給予他們這個成就的定理的完整形式，他們還是被認為對最終完成的證明有著決定性影響。