波萊爾

1893年至1896年在里爾大學任教授。1897年至1920年在巴黎高等師範學校任教授，其間，1911至1920年任校長。1909年至1941年，在巴黎大學文理學院任教授。1920年隨他的老朋友、數學家和政治家P.班勒衛來中國進行學術交流，1921年當選為法國科學院院士，1921年以後，他投身政界，成為激進社會主義者代表（1924-1936），當過市長、地方議員、海軍部長(1925)，還參加籌建國家科學研究中心。1927年至1941年任龐加萊研究所所長，1929年，他為蘇聯科學院外國通訊院士。

波萊爾對數學的貢獻，他引進近代實變函數理論、測度論、發散級數論、非解析開拓、可數概率、丟番圖近似以及解析函數值的度量分佈理論等。他取得的成果，如波萊爾覆蓋定理、波萊爾測度和波萊爾求和法等，對現代數學的許多分支都產生了深刻的影響。

1895年，他證明了有限覆蓋定理，這就是著名的波萊爾覆蓋定理。由於海涅在關於一致連續的證明中也利用了這個性質，所以這個定理也有人稱之為海涅-波萊爾定理。

1898年，他發表了《函數論講義》一書。在處理表示複函數的級數收斂的點集時，他看出了皮亞諾（Peano，Giusepoe，1858.8.27-1932.4.20）、若爾當（Jordan，Camille，1838.1.5-1922.1.21）的容量理論的缺陷，並著手對之作了補救。他引入了“測度”的概念，定義了可數個不相交的可測集的並集的測度，他還考慮了零測集，並證明了測度大於零的集合是不可數的。波萊爾的測度論就這樣產生了。後來，他的學生勒貝格（Lebesgue,HenriLeon,1875.6.28-1941.7.26）將他的測度論推向一般化，引出了勒貝格的可列可加測度，並定義了一種積分，使黎曼（Riemann,GeorgFriedrichBernhard,1826.9.17-1866.7.20）意義下不可積的函數，有些在勒貝格意義下可積了，引起了一場積分學的革命。

1895年至1899年，他藉助無窮級數來研究任意函數。可和性級數理論的系統發展，就是從他這裡的工作開始的。他用無窮積分定義級數的可和性，並引進絕對可和性的概念，並證明了絕對可和的發散級數可以完全象收斂級數那樣進行運算。他的這些理論可以直接應用於微分方程。

1896年所作皮卡（Picard，CharlesEmile，1856.7.24—1941.12.11）定理的證明不僅由於該問題歷時18年首次得到解決，而且為複變函數理論的推廣提供了方法。

在無限次連續可微函數類、擬解析函數、超越整函數、代數體函數以及冪級數收斂圓周等方面的研究中，波萊爾也取得了一系列出色的成果。1917年，他發表了著名的《關於解析函數的概念和歷史》一書。

在數學基礎方面，波萊爾是半直覺主義派，也稱為法國經驗主義派的代表。他支持龐加萊關於整數不能以公理為基礎的論斷，他還引進所謂可計算數的概念，並用來研究可定義的實數。

波萊爾的著作很多，僅出版了的就有300多篇（部）。在現代數學的許多領域都留下了以他的名字命名的概念、定理。他多次獲得巴黎科學院獎。