數學分析原理

《數學分析原理(第一卷)(第9版)》是г. м. 菲赫金哥爾茨繼《微積分學教程》三卷本后的又一部關於數學分析的經典著作，是作者總結多年教學經驗編寫而成的。

《數學分析原理(第一卷)(第9版)》針對大學數學系一二年級的分析課程，因此分兩卷出版。第一卷內容包括：實數、一元函數、極限論、一元連續函數、一元函數的微分法、微分學的基本定理、應用導數來研究函數、多元函數、多元函數的微分學、微積分的幾何應用和力學應用，書中專列一章講述數學分析基本觀念發展簡史；第二卷內容包括：數項級數、函數序列及函數級數、反常積分、帶參變數的積分、隱函數和函數行列式、線積分、二重積分、曲面面積和面積分、三重積分、傅里葉級數等，書後附有“數學分析進一步發展概況”的附錄。

《數學分析原理(第一卷)(第9版)》可供各級各類高等學校的數學分析與高等數學課程作為教學參考書，是數學分析教師極好的案頭用書。

作者序言

《數學分析原理》是作為大學數學系一二年級學生的分析教科書而編寫的; 因此也就把書分成兩卷. 在編寫本書時, 廣泛地採用了我的三卷本《微積分學教程》的材料; 但為了要使本書接近於正式的數學分析教學大綱與講課的實際可能性, 我已把這三卷中包含的材料加以精簡與修改.

我給自己定下的任務是這樣的:

1. 我認為在數學分析原理中主要的一個任務是要做到敘述上的系統性與在可能範圍內的嚴格性. 為了使給予學生的知識有一定的系統, 我認為對於教科書來說，材料的敘述有必要按照邏輯的順序.

雖然如此, 但教本這樣的編排仍然使講課者在個別的地方——從教學法著眼——有可能放棄嚴格的系統性(也許, 甚至使他更容易獲得這種可能). 例如, 我自己在講課中通常把那種對於初學者困難的東西, 如實數理論、收斂性原理或者連續函數的性質都稍稍延後.

2. 同時, 數學分析教程對於學生來說, 不應該只是一連串的"定義" 與"定理",而應該是行動的指南. 必須教會學生把這些定理應用到實際中去, 幫助他們掌握分析的計算工具. 雖然這個任務大部分是落到分析的習題課上, 可是隨著理論材料的敘述, 我也按照需要採用了一些例題; 例題為數雖不多, 但卻是為了培養學生能自覺地做習題而選擇的.

3. 大家知道, 數學分析無論在數學本身方面或在相近的知識領域方面都有著何等奇妙的與多種多樣的應用; 學生以後將會時常碰到它們. 可是關於數學分析與其他數學分支, 以及與實際需要相聯繫的這種思想, 在研究分析原理時就應該為學生所通曉. 正因為如此, 所以一有可能, 我就引進了分析在幾何上、在力學上以及在物理上與工程上的應用的例題.

4. 關於把分析計算一直算到求出數字的結果的問題, 在原則上與實用上有著同樣的重要性. 因為只有在最簡單的情況下, 分析上的問題才有"準確的" 解或"有限形式的" 解, 所以使學生熟悉近似方法的運用與學會作出近似公式都有其重要性. 在本書中也注意到了這一點.

5. 關於敘述本身方面, 我想作少許說明. 首先要提到的是極限概念, 它在分析的基本概念中佔有主要的地位, 並且以各種形式出現而貫穿全部教程. 這種情況向我們提出了一項任務, 那就是要建立各種形式的極限的統一概念. 這不僅在原則上是重要的, 而且在實際上也是必需的, 為的是避免時常要重新建立極限的理論. 要達到這個目的, 有兩條途徑: 或者一開始就給出"有序變數" 的最一般的極限定義(例如, 照沙都諾夫斯基與摩爾—史密斯那樣去做), 或者把各種極限歸結為最簡單的情形——在編號數列上變化著的變數的極限. 第一種觀點對初學者是不易理解的, 所以我採用了第二種觀點: 每一種新形式的極限定義首先都用序列的極限給出, 然後才用"epsilon-delta語言" 給出.

6. 還要指出敘述上的一個細節: 在第二卷中, 講到曲線積分與曲面積分時, 我提出了"第一型" 的曲線積分與曲面積分(恰好與沿無定向的區域的普通積分及二重積分相似) 和"第二型" 的這些積分(其中相似之處已經局部地失去了) 之間的區別。根據多次的經驗, 我深信這樣的區分有助於更好地理解, 並且也便於應用.

7. 在對教學大綱所作的為數不多的補充中, 我把橢圓積分(這是在實際上常遇到的) 簡要介紹到書內, 並且有些時候提出了一些恰好要引用橢圓積分的問題. 使得那種由於解答一些簡單問題養成的有害錯覺——彷彿認為分析計算的一些結果一定是"初等式子", 從此消滅!

8. 在本書中各個地方, 讀者可找到帶有數學史性質的說明. 並且第一卷是以"數學分析基本觀念發展簡史" 結尾的, 而在第二卷末載出了"數學分析進一步發展概況". 當然, 這一切絕不是用來代替學生以後在一般的"數學史" 教程中所要熟悉的數學分析的歷史. 如果在上面提到的前一概述中涉及概念本身的來源, 那麼帶有歷史意義的說明就在於使讀者至少了解分析學歷史中最重要的事件在年代上一般的次序.

我現在要把和剛才所說的密切有關的事直接告訴讀者——學生. 那就是, 書中敘述的次序是按照現代對於數學的嚴格性的要求安排的, 這種要求是在長時間內形成起來的, 因此, 敘述的次序自然和數學分析在歷史上的發展所經過的道路有所不同. 如馬克思所說: "......正如一切科學的歷史進程一樣, 在摸到它們的真正出發點之前, 總先走過許多彎路. 科學不同於其他建築師, 它不只畫出空中樓閣, 而且在它打下地基之前, 先造出房屋的各層."

讀者一開始研究分析學時就會遇到與此類似的情況: 本書第一章講述"實數",第三章講述"極限論", 從第五章起才開始微分學與積分學的系統的敘述.

在歷史上的次序恰恰是與此相反的: 微分學與積分學起源於17 世紀, 而在18世紀發現了很多重要的應用, 有了進一步的發展; 在19世紀初, 極限論才成為數學分析的基礎, 至於用來論證最精密的極限論原理的實數理論, 它的明晰概念一直到19世紀後半期才建立起來.

徠這部書總結了我在列寧格勒大學教數學分析的多年經驗. 希望它對蘇聯青年將會是有用的.

G. M. 菲赫金哥爾茨

《數學分析原理(第一卷)(第9版)》

《俄羅斯數學教材選譯》序

序言

第一章實數 1

x1. 實數集合及其有序化 1

1. 前言 1

2. 無理數定義 2

3. 實數集合的有序化 4

4. 實數的無盡十進小數的表示法 5

5. 實數集合的連續性 7

6. 數集合的界 8

x2. 實數的四則運算 10

7. 實數的和的定義及其性質 10

8. 對稱數 絕對值 11

9. 實數的積的定義及其性質 13

x3. 實數的其他性質及其應用 14

10. 根的存在性 具有有理指數的乘冪 14

11. 具有任何實指數的乘冪 16

12. 對數 17

13. 線段的測量 18

. ii 目錄

第二章一元函數 20

x1. 函數概念 20

14. 變數 20

15. 變數的變域 21

16. 變數間的函數關係 例題 21

17. 函數概念的定義 22

18. 函數的解析表示法 24

19. 函數的圖形 25

20. 以自然數為變元的函數 26

21. 歷史的附註 28

x2. 幾類最重要的函數 29

22. 初等函數 29

23. 反函數的概念 32

24. 反三角函數 33

25. 函數的疊置 結束語 36

第三章極限論 38

x1. 函數的極限 38

26. 歷史的說明 38

27. 數列 38

28. 序列的極限定義 39

29. 無窮小量 41

30. 例 42

31. 無窮大量 44

32. 函數極限的定義 45

33. 函數極限的另一定義 47

34. 例 48

35. 單側極限 53

x2. 關於極限的定理 54

36. 具有有限的極限的自然數變元的函數的性質 54

37. 推廣到任意變數的函數情形 56

38. 在等式與不等式中取極限 57

39. 關於無窮小量的引理 58

40. 變數的算術運算 59

41. 未定式 61

42. 推廣到任意變數的函數情形 63

43. 例 64

x3. 單調函數 67

44. 自然數變元的單調函數的極限 67

45. 例 69

46. 關於區間套的引理 70

47. 在一般情形下單調函數的極限 71

x4. 數e 73

48. 數e 看作序列的極限 73

49. 數e 的近似計演演算法 74

50. 數e 的基本公式 自然對數 76

x5. 收斂原理 78

51. 部分序列 78

52. 以自然數為變元的函數存在有限極限的條件 80

53. 任意變元的函數存在有限極限的條件 81

x6. 無窮小量與無窮大量的分類 83

54. 無窮小量的比較 83

55. 無窮小量的尺度 84

56. 等價的無窮小量 84

57. 無窮小量的主部的分離 86

58. 應用問題 86

59. 無窮大量的分類 88

第四章一元連續函數 89

x1. 函數的連續性(與間斷點) 89

60. 函數在一點處的連續性的定義 89

61. 單調函數的連續性條件 91

62. 連續函數的算術運算 91

63. 初等函數的連續性 92

64. 連續函數的疊置 94

65. 幾個極限的計算 94

66. 冪指數表達式 96

67. 間斷點的分類 例子 97

x2. 連續函數的性質 98

68. 關於函數取零值的定理 98

69. 應用於解方程 100

iv 目錄

70. 關於中間值的定理 101

71. 反函數的存在性 102

72. 關於函數的有界性的定理 103

73. 函數的最大值與最小值 104

74. 一致連續性的概念 105

75. 關於一致連續性的定理 106

第五章一元函數的微分法 108

x1. 導數及其計算 108

76. 動點速度的計算問題 108

77. 作曲線的切線的問題 109

78. 導數的定義 111

79. 計算導數的例 114

80. 反函數的導數 116

81. 導數公式彙集 117

82. 函數增量的公式 118

83. 計算導數的幾個最簡單法則 119

84. 複合函數的導數 121

85. 例 122

86. 單側導數 124

87. 無窮導數 124

88. 特殊情況的例子 125

x2. 微分 126

89. 微分的定義 126

90. 可微性與導數存在之間的關係 127

91. 微分的基本公式及法則 129

92. 微分形式的不變性 130

93. 微分作為近似公式的來源 131

94. 微分在估計誤差中的應用 132

x3. 高階導數及高階微分 133

95. 高階導數的定義 133

96. 任意階導數的普遍公式 134

97. 萊布尼茨公式 136

98. 高階微分 138

99. 高階微分形式不變性的破壞 139

第六章微分學的基本定理 140

x1. 中值定理 140

100. 費馬定理 140

101. 羅爾定理 141

102. 有限增量定理 142

103. 導數的極限 144

104. 有限增量定理的推廣 144

x2. 泰勒公式 145

105. 多項式的泰勒公式 145

106. 任意函數的展開式 147

107. 余項的其他形式 150

108. 已得的公式在初等函數上的應用 152

109. 近似公式 例 153

第七章應用導數來研究函數 157

x1. 函數的變化過程的研究 157

110. 函數為常數的條件 157

111. 函數為單調的條件 158

112. 極大及極小 必要條件 159

113. 第一法則 160

114. 第二法則 162

115. 函數的作圖 163

116. 例 164

117. 高階導數的應用 166

x2. 函數的最大值及最小值 167

118. 最大值及最小值的求法 167

119. 問題 168

x3. 未定式的定值法 169

型未定式 169

型未定式 172

122. 其他類型的未定式 173

第八章多元函數 176

x1. 基本概念 176

123. 變數之間的函數關係 例 176

124. 二元函數及其定義區域 177

125. m 維算術空間 179

126. m 維空間中的區域舉例 181

127. 開區域及閉區域的一般定義 183

128. m 元函數 184

129. 多元函數的極限 186

130. 例 188

131. 累次極限 189

x2. 連續函數 191

132. 多元函數的連續性及間斷 191

133. 連續函數的運算 193

134. 關於函數取零值的定理 194

135. 波爾查諾{ 魏爾斯特拉斯引理 195

136. 關於函數有界性的定理 196

137. 一致連續性 196

第九章多元函數的微分學 199

x1. 多元函數的導數與微分 199

138. 偏導數 199

139. 函數的全增量 200

140. 複合函數的導數 203

141. 例 204

142. 全微分 205

143. 一階微分形式的不變性 207

144. 全微分在近似計算中的應用 209

145. 齊次函數 210

x2. 高階導數與高階微分 212

146. 高階導數 212

147. 關於混合導數的定理 213

148. 高階微分 216

149. 複合函數的微分 218

150. 泰勒公式 219

x3. 極值、最大值與最小值 220

151. 多元函數的極值 必要條件 220

152. 靜止點的研究(二元函數的情況) 222

153. 函數的最大值與最小值 例子 225

154. 問題 227

第十章原函數(不定積分) 230

x1. 不定積分及其最簡單的計演演算法 230

155. 原函數概念(及不定積分概念) 230

156. 積分與求面積問題 233

157. 基本積分表 234

158. 最簡單的積分法則 235

159. 例 237

160. 換元積分法 238

161. 例 240

162. 分部積分法 242

163. 例 242

x2. 有理式的積分 244

164. 有限形式積分法問題的提出 244

165. 簡單分式及其積分 245

166. 真分式的積分 246

167. 奧斯特羅格拉茨基的積分有理部分分出法 249

x3. 某些根式的積分法 251

168. 型根式的積分法 251

169. 二項式微分的積分法 252

170. r(x;pax2 + bx + c) 型根式的積分法 歐拉替換法 254

x4. 含有三角函數及指數函數的式子的積分法 258

171. 微分式r(sin x; cos x)dx 的積分法 258

172. 其他情形概述 260

x5. 橢圓積分 261

173. 定義 261

174. 化為典式 262

第十一章定積分 264

x1. 定積分定義及存在條件 264

175. 解決面積問題的另一途徑 264

176. 定義 265

177. 達布和 267

178. 積分存在條件 269

179. 可積函數類別 270

x2. 定積分性質 272

180. 依有向區間的積分 272

181. 可用等式表出的性質 273

182. 可用不等式表出的性質 274

183. 定積分作為上限的函數 277

x3. 定積分的計算及變換 279

184. 用積分和的計算 279

185. 積分學基本公式 281

186. 定積分中變數替換公式 282

187. 定積分的分部積分法 283

188. 沃利斯公式 284

x4. 積分的近似計算 285

189. 梯形公式 285

190. 拋物線公式 287

191. 近似公式的余項 289

192. 例 291

第十二章積分學的幾何應用及力學應用 293

x1. 面積及體積 293

193. 面積概念的定義 可求積區域 293

194. 面積的可加性 294

195. 面積作為極限 295

196. 以積分表出面積 296

197. 體積概念的定義及其性質 299

198. 以積分表出體積 301

x2. 弧長 305

199. 弧長概念的定義 305

200. 引理 307

201. 以積分表出弧長 308

202. 變弧及其微分 311

203. 空間曲線的弧長 313

x3. 力學及物理上的數量的計算 314

204. 定積分應用程式 314

205. 旋轉面面積 316

206. 曲線的靜矩及質心的求法 318

207. 平面圖形的靜矩及質心的求法 320

208. 力功 321

第十三章微分學的一些幾何應用 323

x1. 切線及切面 323

209. 平面曲線的解析表示法 323

210. 平面曲線的切線 324

211. 切線的正方向 328

212. 空間曲線 329

213. 曲面的切面 331

x2. 平面曲線的曲率 332

214. 凹向 拐點 332

215. 曲率概念 334

216. 曲率圓及曲率半徑 336

第十四章數學分析基本觀念發展簡史 339

x1. 微積分前史 339

217. 17 世紀與無窮小分析 339

218. 不可分素方法 339

219. 不可分素學說的進一步發展 341

220. 求最大及最小(極大極小) 切線作法 343

221. 藉助運動學想法來作切線 345

222. 切線作法問題與求積問題的互逆性 345

223. 上述的總結 346

x2. 依薩克 牛頓(isaac newton, 1642 1727) 347

224. 流數計演演算法 347

225. 流數計演演算法的逆計演演算法 求積 349

226. 牛頓的\原理" 及極限理論的萌芽 351

227. 牛頓的奠基問題 351

x3. 萊布尼茨(gottfried wilhelm leibniz, 1646 1716) 352

228. 建立新計演演算法的初步 352

229. 最先刊行的微分學著作 353

230. 最先刊行的積分學著作 354

231. 萊布尼茨的其他著作 學派的建立 355

232. 萊布尼茨的奠基問題 355

233. 結尾語 356

索引 357