特徵函數

特徵函數

在概率論中，任何隨機變數的特徵函數(縮寫：ch.f,複數形式：ch.f's)完全定義了它的概率分佈。為ξ的特徵函數(Characteristic function)，這裡t是任意實數。它就是函數p(x)的傅里葉變換.

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定義定律

定義1設ξ、η為實值隨機變數，稱為復隨機變數，這裡，稱為ζ的數學期望.

復隨機變數本質上是二維隨機變數，相關的很多概念和性質可以從實隨機變數直接推廣而得到，例如Eξ具有與實數學期望類似的性質.

定義2設為實隨機變數，稱

(1)

為ξ的特徵函數(Characteristic function)，這裡t是任意實數.

由於, 因此對任意ξ，對一切，(1)式都有意義. 換句話說，對每個隨機變數ξ（或者說每個分佈函數），都有一個特徵函數與之對應，它是定義在上的實變數復值函數.

特徵函數是ξ的函數的數學期望，故由§1得:

特別，若ξ為離散型，則

(2)

若ξ是連續型，其密度為，則

(3)

它就是函數p(x)的傅里葉變換.

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