半鞅

一個定義在帶域流的概率空間的實值隨機過程X被稱為半鞅，若X有如下分解：

其中M為一局部鞅，而A是一個右連左極的適應的有界變差過程。

在數學中，右連左極函數（càdlàg，RCLL）是指定義在實數集或其子集上的處處右連續且有左極限的函數。這類函數在研究有跳躍甚至是需要跳躍的隨機過程時很重要，這類隨機過程不像布朗運動具有連續的樣本軌道。給定定義域上的右連左極函數的集合稱為斯科羅霍德空間（Skorokhod space）。全部連續函數都是右連左極函數。由累積分佈函數的定義知所有的累積分佈函數都是右連左極函數。

• 多個半鞅的線性組合仍然是半鞅。

• 多個半鞅的積仍然是半鞅。

• 任意半鞅的二次變差都存在。

• 若X為一半鞅，f為二次連續可微函數，則也是半鞅。

• 凡是右連左極鞅都是半鞅，更一般地，上鞅和下鞅也都是半鞅。

• 布朗運動是連續鞅，因此也是半鞅。

• 適應並連續可微過程是有界變差過程，因此也是半鞅。

• 萊維過程並不一定都是鞅，但一定都是半鞅。

布朗運動（Brownian motion）過程是一種正態分佈的獨立增量連續隨機過程。它是隨機分析中基本概念之一。其基本性質為：布朗運動是期望為0、方差為t（時間）的正態隨機變數。對於任意的r小於等於s，獨立於的，且是期望為0、方差為的正態隨機變數。可以證明布朗運動是馬爾可夫過程、鞅過程和伊藤過程。

它是在公元1827年英國植物學家羅伯特·布朗利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中由花粉所迸裂出之微粒時，發現微粒會呈現不規則狀的運動，因而稱它布朗運動。布朗運動也能測量原子的大小，因為就是有水中的水分子對微粒的碰撞產生的，而不規則的碰撞越明顯，就是原子越大，因此根據布朗運動，定義原子的直徑為 厘米。

萊維過程（Lévy process）源於法國數學家保羅·皮埃爾·萊維，是連續時間上的一種擁有獨立穩定增量的左極限右連續（Càdlàg）的隨機過程。著名的例子有Wiener過程和泊松過程。

• 鞅

• 局部鞅

• 布朗運動