聚點
聚點
聚點，多義詞，一是指高等數學中又被叫做“極限點”的定義，即：設E是數軸上的無限點集，P是數軸上的一個定點(可以屬於E,也可以不屬於E)。若任意的e大於0，點P的e鄰域U（P，e）都含有E的無限多個點，則稱P是E的一個聚點。另一種是用iebook超級精靈電子雜誌製作軟體製作的電子雜誌名稱。
對於任意給定的δ>0，點P的去心領域U(P,δ）內，總有E中的點，則稱為P是E的聚點。此聚點要麼是內點，要麼是邊界點。
複變函數里：有點集E，若在複平面上的一點z的任意鄰域都有E的無窮多個點，則 稱z為E的聚點。
定義
任給，存在無窮多個 滿足
則稱 為複數序列 的一個聚點。
聚點與極限
有的序列可以有多個聚點。例如，實數序列
就有兩個聚點1和-1.當序列的極限存在時，序列的極限是此序列的唯一聚點。
在實數序列 中，數值最大的聚點稱為 的上極限，記作
數值最小的聚點稱為 的下極限，記作
對於上述序列
上極限與下極限的概念在計算級數收斂半徑時常會用到。
定理1
a是X的聚點的充要條件是：存在X中的各項不同的數列，使得
事實上，只要證明在且的數列中，可以選出各項不同的子數列就可。因為且，這說明該數列不可能只有有限多個不同項組成(否則必有一項的值在中無窮次出現，這樣就收斂到該值，而它又不等於a，從而得出矛盾)，取這些不同項，按原來的順序排列后所得數列就是定理所要求的數列。
例 給出以[0，1]上所有實數為聚點的數列。
解 利用(0，1)上的有理數集的聚點就是[0，1]這個事實，來
構造數列如下：
當然上述數列的項有相同的，如果捨去和前面相同的項的話，就得到一個各項不同的數列，它以[0，1]上實數為聚點，而各項又都是有理數。
定理2
（維爾斯特拉斯聚點定理）任何有界的無窮數集，都有聚點存在。
定理3
(波爾察諾定理)有界數列有收斂的子數列。
證明 若數列有無窮多項相同，它們重複出現的序號為
則就是一個收斂的子數列。若沒有無窮多項相同，則數集為無窮有界數集，則由聚點原理，必有聚點a存在。再由定理1，在數集中有一個數列，a，以的次序排列后，得的一個子數列，它以a為極限，其中用了收斂數列重排后極限不變。
設A是拓撲空間X 的子集，x∈X。如果 x 的每個鄰域都含有 A\{x} 中的點，則稱 x 為 A 的聚點(point of accumulation)。
點集E，若在複平面上的一點z的任意鄰域都有E的無窮多個點，則 稱z為E的聚點。
基本信息
- 中文名
- 聚點
- 外文名
- point of accumulation
- 所屬學科
- 拓撲學
- 提出者
- 康托爾