數值分析

其內容包括插值與逼近，數值微分與數值積分，非線性方程與線性方程組的數值解法，矩陣的特徵值與特徵向量計算，常微分方程數值解法。每章附有習題並在書末給出了部分答案，每章還附有複習與思考題和計算實習題。全書闡述嚴謹，脈絡分明，深入淺出，便於教學。

該書也可作為理工科大學各專業研究生學位課程的教材，並可供從事科學計算的科技工作者參考。

本書第5版已列入普通高等教育“十一五”國家級規劃教材，主要作為理科數學類專業本科生及其他理工科碩士研究生“數值分析”課程的教材. 根據“數值分析”課程教學大綱的要求，對第4版做了適當修改，但仍保留原教材的基本結構和大部分內容. 主要修改部分如下：

(1) 在內容上精簡了一些較少使用的演演算法及一些較繁雜的推導和證明；加強了演演算法基本思想的分析和使用的說明；另外還增加了一些新內容，如自適應求積和重積分的計算，解線性方程組的共軛梯度法，代數方程求根的病態分析，常微分方程數值解法中多步法的收斂性與穩定性分析，剛性問題等.

(2) 評註中增加了一些歷史發展及使用數學軟體的說明；每章增加了複習與思考題，這有助於讀者加深對基本內容的理解，促進對所講演演算法的掌握；另外為加強使用計算機解題練習，增添了一些計算實習題.

(3) 根據本書新版的特點，刪去了并行演演算法的附錄，有關并行演演算法目前有很多普及的入門著作，需要了解的可自己學習. 另外，本書推薦讀者使用MATLAB語言及數學庫，有關MATLAB的使用本書也不做介紹，目前也有很多介紹的書籍可供參考.

本書第5版主要由李慶揚負責修改，是在清華大學出版社及本書編輯劉穎博士推動和支持下完成的，還得到清華大學給予的經費資助，作者對他們的支持和幫助表示衷心感謝.

希望使用本書的老師和同學對本書存在的問題給予批評指正.

第1章 數值分析與科學計算引論(1(指第一頁))

1.1 數值分析的對象、作用與特點(1)

1.1.1 數學科學與數值分析(1)

1.1.2 計算數學與科學計算(1)

1.1.3 計算方法與計算機(2)

1.1.4 數值問題與演演算法(2)

1.2 數值計算的誤差(3)

1.2.1 誤差來源與分類(3)

1.2.2 誤差與有效數字(4)

1.2.3 數值運算的誤差估計(7)

1.3 誤差定性分析與避免誤差危害(8)

1.3.1 演演算法的數值穩定性(9)

1.3.2 病態問題與條件數(10)

1.3.3 避免誤差危害(11)

1.4 數值計算中演演算法設計的技術(13)

1.4.1 多項式求值的秦九韶演演算法(13)

1.4.2 迭代法與開方求值(14)

1.4.3 以直代曲與化整為“零”(15)

1.4.4 加權平均的鬆弛技術(16)

1.5 數學軟體(17)

評註(18)

複習與思考題(19)

習題(19)

第2章 插值法(22)

2.1 引言(22)

2.1.1 插值問題的提出(22)

2.1.2 多項式插值(23)

2.2 拉格朗日插值(23)

2.2.1 線性插值與拋物線插值(23)

2.2.2 拉格朗日插值多項式(25)

2.2.3 插值余項與誤差估計(26)

2.3 均差與牛頓插值多項式(29)

2.3.1 插值多項式的逐次生成(29)

2.3.2 均差及其性質(30)

2.3.3 牛頓插值多項式(31)

2.3.4 差分形式的牛頓插值公式(32)

2.4 埃爾米特插值(35)

2.4.1 重節點均差與泰勒插值(35)

2.4.2 兩個典型的埃爾米特插值(36)

2.5 分段低次插值(39)

2.5.1 高次插值的病態性質(39)

2.5.2 分段線性插值(40)

2.5.3 分段三次埃爾米特插值(40)

2.6 三次樣條插值(41)

2.6.1 三次樣條函數(41)

2.6.2 樣條插值函數的建立(42)

2.6.3 誤差界與收斂性(46)

評註(46)

複習與思考題(47)

習題(48)

計算實習題(50)

第3章 函數逼近與快速傅里葉變換(51)

3.1 函數逼近的基本概念(51)

3.1.1 函數逼近與函數空間(51)

3.1.2 范數與賦范線性空間(52)

3.1.3 內積與內積空間(53)

3.1.4 最佳逼近(56)

3.2 正交多項式(57)

3.2.1 正交函數族與正交多項式(57)

3.2.2 勒讓德多項式(59)

3.2.3 切比雪夫多項式(61)

3.2.4 切比雪夫多項式零點插值(63)

3.2.5 其他常用的正交多項式(65)

3.3 最佳平方逼近(67)

3.3.1 最佳平方逼近及其計算(67)

3.3.2 用正交函數族作最佳平方逼近(69)

3.3.3 切比雪夫級數(72)

3.4 曲線擬合的最小二乘法(73)

3.4.1 最小二乘法及其計算(73)

3.4.2 用正交多項式作最小二乘擬合(76)

3.5 有理逼近(78)

3.5.1 有理逼近與連分式(78)

3.5.2 帕德逼近(80)

3.6 三角多項式逼近與快速傅里葉變換(83)

3.6.1 最佳平方三角逼近與三角插值(84)

3.6.2 N點DFT與FFT演演算法(86)

評註(92)

複習與思考題(92)

習題(94)

計算實習題(95)

第4章 數值積分與數值微分(97)

4.1 數值積分概論(97)

4.1.1 數值積分的基本思想(97)

4.1.2 代數精度的概念(98)

4.1.3 插值型的求積公式(100)

4.1.4 求積公式的余項(101)

4.1.5 求積公式的收斂性與穩定性(102)

4.2 牛頓-柯特斯公式(103)

4.2.1 柯特斯係數與辛普森公式(103)

4.2.2 偶階求積公式的代數精度(105)

4.2.3 辛普森公式的余項(105)

4.3 複合求積公式(106)

4.3.1 複合梯形公式(106)

4.3.2 複合辛普森求積公式(107)

4.4 龍貝格求積公式(109)

4.4.1 梯形法的遞推化(109)

4.4.2 外推技巧(110)

4.4.3 龍貝格演演算法(112)

4.5 自適應積分方法(113)

4.6 高斯求積公式(116)

4.6.1 一般理論(116)

4.6.2 高斯-勒讓德求積公式(121)

4.6.3 高斯-切比雪夫求積公式(123)

4.6.4 無窮區間的高斯型求積公式(124)

4.7 多重積分(126)

4.8 數值微分(128)

4.8.1 中點方法與誤差分析(128)

4.8.2 插值型的求導公式(130)

4.8.3 三次樣條求導(132)

4.8.4 數值微分的外推演演算法(132)

評註(133)

複習與思考題(134)

習題(135)

計算實習題(137)

第5章 解線性方程組的直接方法(138)

5.1 引言與預備知識(138)

5.1.1 引言(138)

5.1.2 向量和矩陣(138)

5.1.3 矩陣的特徵值與譜半徑(139)

5.1.4 特殊矩陣(141)

5.2 高斯消去法(142)

5.2.1 高斯消去法(142)

5.2.2 矩陣的三角分解(146)

5.2.3 列主元消去法(148)

5.3 矩陣三角分解法(152)

5.3.1 直接三角分解法(152)

5.3.2 平方根法(156)

5.3.3 追趕法(159)

5.4 向量和矩陣的范數(161)

5.4.1 向量范數(161)

5.4.2 矩陣范數(164)

5.5 誤差分析(167)

5.5.1 矩陣的條件數(167)

5.5.2 迭代改善法(172)

評註(174)

複習與思考題(174)

習題(175)

計算實習題(178)

第6章 解線性方程組的迭代法(180)

6.1 迭代法的基本概念(180)

6.1.1 引言(180)

6.1.2 向量序列與矩陣序列的極限(182)

6.1.3 迭代法及其收斂性(183)

6.2 雅可比迭代法與高斯-塞德爾迭代法(187)

6.2.1 雅可比迭代法(187)

6.2.2 高斯-塞德爾迭代法(188)

6.2.3 雅可比迭代與高斯-塞德爾迭代收斂性(190)

6.3 超鬆弛迭代法(193)

6.3.1 逐次超鬆弛迭代法(193)

6.3.2 SOR迭代法的收斂性(195)

6.3.3 塊迭代法(197)

6.4 共軛梯度法(202)

6.4.1 與方程組等價的變分問題(202)

6.4.2 最速下降法(203)

6.4.3 共軛梯度法（CG方法）(204)

評註(208)

複習與思考題(208)

習題(209)

計算實習題(211)

第7章 非線性方程與方程組的數值解法(212)

7.1 方程求根與二分法(212)

7.1.1 引言(212)

7.1.2 二分法(213)

7.2 不動點迭代法及其收斂性(215)

7.2.1 不動點與不動點迭代法(215)

7.2.2 不動點的存在性與迭代法的收斂性(216)

7.2.3 局部收斂性與收斂階(218)

7.3 迭代收斂的加速方法(220)

7.3.1 埃特金加速收斂方法(220)

7.3.2 斯特芬森迭代法(221)

7.4 牛頓法(222)

7.4.1 牛頓法及其收斂性(222)

7.4.2 牛頓法應用舉例(224)

7.4.3 簡化牛頓法與牛頓下山法(225)

7.4.4 重根情形(226)

7.5 弦截法與拋物線法(228)

7.5.1 弦截法(228)

7.5.2 拋物線法(229)

7.6 求根問題的敏感性與多項式的零點(230)

7.6.1 求根問題的敏感性與病態代數方程(230)

7.6.2 多項式的零點(232)

7.7 非線性方程組的數值解法(233)

7.7.1 非線性方程組(233)

7.7.2 多變數方程的不動點迭代法(234)

7.7.3 非線性方程組的牛頓迭代法(236)

評註(236)

複習與思考題(237)

習題(238)

計算實習題(239)

第8章 矩陣特徵值計算(241)

8.1 特徵值性質和估計(241)

8.1.1 特徵值問題及其性質(241)

8.1.2 特徵值估計與擾動(242)

8.2 冪法及反冪法(245)

8.2.1 冪法(245)

8.2.2 加速方法(248)

8.2.3 反冪法(251)

8.3 正交變換與矩陣分解(254)

8.3.1 豪斯霍爾德變換(254)

8.3.2 吉文斯變換(256)

8.3.3 矩陣的QR分解與舒爾分解(258)

8.3.4 用正交相似變換約化一般矩陣為上海森柏格矩陣(261)

8.4 QR方法(264)

8.4.1 QR演演算法(264)

8.4.2 帶原點位移的QR方法(266)

8.4.3 用單步QR方法計算上海森伯格矩陣的特徵值(268)

8.4.4 雙步QR方法（隱式QR方法）(272)

評註(274)

複習與思考題(274)

習題(275)

計算實習題(277)

第9章 常微分方程初值問題數值解法(279)

9.1 引言(279)

9.2 簡單的數值方法(280)

9.2.1 歐拉法與後退歐拉法(280)

9.2.2 梯形方法(282)

9.2.3 改進歐拉公式(283)

9.2.4 單步法的局部截斷誤差與階(284)

9.3 龍格-庫塔方法(286)

9.3.1 顯式龍格-庫塔法的一般形式(286)

9.3.2 二階顯式R-K方法(287)

9.3.3 三階與四階顯式R-K方法(288)

9.3.4 變步長的龍格-庫塔方法(290)

9.4 單步法的收斂性與穩定性(291)

9.4.1 收斂性與相容性(291)

9.4.2 絕對穩定性與絕對穩定域(293)

9.5 線性多步法(297)

9.5.1 線性多步法的一般公式(297)

9.5.2 阿當姆斯顯式與隱式公式(299)

9.5.3 米爾尼方法與辛普森方法(301)

9.5.4 漢明方法(302)

9.5.5 預測-校正方法(303)

9.5.6 構造多步法公式的註記和例(305)

9.6 線性多步法的收斂性與穩定性(306)

9.6.1 相容性及收斂性(307)

9.6.2 穩定性與絕對穩定性(308)

9.7 一階方程組與剛性方程組(310)

9.7.1 一階方程組(310)

9.7.2 化高階方程為一階方程組(312)

9.7.3 剛性方程組(313)

評註(315)

複習與思考題(315)

習題(316)

計算實習題(318)

部分習題答案(320)

參考文獻(325)