等效原理

等效原理

牛頓根據單擺周期的測量發現，周期只與擺長有關，而與擺錘的質量和材料無關。這些結果都表明，任何物體的引力質量與慣性質量之比都是一樣的。十九世紀末，匈牙利物理學家厄缶作了更精確的實驗，把精度提高到10。二十世紀六十年代以來，這個實驗的精度又逐步提高到10和10。根據這個性質，只要選擇適當的參考系，在所有力學方程中，引力與慣性力都可相互抵消掉。這個性質稱為弱等效原理。再進一步推廣，在這參考系中，力學方程和一切運動方程中的引力作用都被抵消掉，這就是等效原理，或稱為強等效原理。

早在17世紀，伽利略已利用物體從斜面滾下不同的距離所需要的時間，去證明物體於地球上的自由下落的加速度是一個常量；另外，伽利略亦發現單擺的周期只與擺長有關，而與擺錘的質量和材料無關。稍後的牛頓則做了兩個等長而同形狀的單擺，其中一個的擺錘是用金做的；而另一個擺錘用等重的銀、鉛、玻璃、沙等不同物料製成。而牛頓在多次實驗均未能觀察到它們之間的周期差異。

從牛頓力學來說，質量本身被付予兩種不同的意義：一個從動力學方程式（牛頓第二定律）引入： f=ma

是指慣性質量，代表著物體運動的慣性，即是物體抵抗運動變化的程度；另一方面，從牛頓萬有引力定律

牛頓萬有引力定律：

可知是代表物體引力大小的一個參數，稱作引力質量。

至此可從定量分析去理解兩種不同物理量的關係：

從斜面的落體運動分析，可知兩種不同物理量的關係

由於實驗結果是：自由下落的加速度是一個常量，所以：

但這個實驗的精確度不及單擺那麼高，從小幅單擺的分析可知：

則周期則表示為：

由於實驗的結果是：單擺的周期只與擺長有關，而與擺錘的質料無關；所以牛頓以千分之一的精確度於1680年接受了 的結論。

在牛頓之後，厄阜於1890年25年間，以鉑為基準用八種不同的材料去進行攏扭實驗，去測量引力質量與慣性質量的比例與1的偏離，從實驗的精確度，厄阜的結論是：在的精確度下到了1962年，迪克改進了厄阜攏扭實驗之精確度至；到了1971年，布拉金斯基及潘洛夫等人又將實驗之精確度推至。此外還有別的科學家用實驗測定了原子和原子核的結合能所對應的引力質量與慣性質量之比，亦沒有發現對1之偏離（雖精確度不及厄阜攏扭實驗）。因此，在精確度甚高之下，可證實。

從兩種質量的觀念上來說，他們是本質不同的物理量；但如果兩者的值之比例對一切物體相同，在實用上可把他們當同一個量來對待（即是物體的質量），這就是引力質量與慣性質量成正比例；在適當的單位制下，即令比例常數成為1，引力質量與慣性質量相等。

自牛頓至愛因斯坦的200餘年間，人們對引力質量及慣性質量相等的事只是當成偶然的事件，並沒有深刻去研究，直至愛因斯坦完成狹義相對論后，要處理引力理論和相對性原理的調和問題，方始注意。愛因斯坦曾說：

引力場中一切物體都具有同一的加速度，這條定律也可表述為慣性質量同引力質量相等，它當時就使我認識到它的全部重要性。我為它的存在感到極為驚奇，並且猜想其中必有一把可以更深入了解慣性和引力的鑰匙。

愛因斯坦用一個假想實驗來說明：在遙遠的宇宙深處（慣性參考系），有一個密封的太空船在 + z方向向上加速，其加速度為，假設密封的太空船內有一個太空人及一個鉛球，該太空人在太空船內拿起一塊鉛球，他感受到鉛球有重量；不單如此，他自己亦感受到自身有重量，他認為這有兩個可能性：一是太空船在太空中正在 + z方向向上（相對於太空人）加速，雖然附近沒有任何星球或重力場，太空人仍會感覺到因鉛球及自身的慣性關係有下墜的傾向，這就是慣性力。另一個可能性是太空船可能停在一顆行星上，其引力場強度是，它利用萬有引力來拉扯著鉛球及自己，使他感到鉛球及自己的重量。

另一個假想實驗是：在大廈內的升降機不幸地斷了鋼索，升降機正以加速度 向下加速，假設升降機槽無限長，升降機內有乘客及一個鉛球，裡面的乘客可觀察到鉛球及自己會浮在半空，即是“失重”。他認為這有兩個可能性：一是升降機在升降機槽中正在 − z方向向上（相對於升降機槽）加速，乘客及鉛球正跟著升降機加速。另一個可能性是升降機可能在遙遠的宇宙深處，其引力場強度是，沒有萬有引力來拉扯著鉛球及自己，使他感受不到鉛球及自己的重量；由於乘客認為沒有任何力施加在自己及鉛球上，所以加速度為，是慣性參考系。

由於：及法向反作用力R=0（任何物體沒有與升降機接觸），升降機內的乘客不可能分辨出加速度所抵消的引力場強度（假慣性參考系）或由真正為零的引力場強度及加速度（真慣性參考系）。

由此可見，無論任何動力學方法，只要有最後這個公式，是不能分辨引力場強度及加速度的動力學效應；甚或至是慣性參考系和非慣性參考系的動力學效應都是不能分辨，其中的兩類觀察者都是能用各自的方式去正確描述事實，所以這兩種分析方法是等效的，這就是弱等效原理。

弱等效原理原是指觀測者不能在局部的區域內分辨出由加速度所產生的慣性力或由物體所產生的引力，而它是由引力質量與慣性質量成正比例這一事實推演出來，這個關係首先是由伽利略及牛頓用一系列的實驗斷定出來。

強等效原理是指在時空區域的一點內的引力場可用相應的局域慣性參考系去描述，而狹義相對論在其局域慣性參考系中完全成立。

強等效原理並不能從弱等效原理推演而出，僅僅只是弱等效原理的一個抽象結果。利用廣義相對論幾何方式（時空度規張量、時空曲率張量）去描述引力（引力場強度、引力勢）的基礎即在此原理之上。由於引力場本身是與引力場源的距離有關，形成了引力場在時空分佈中並不均勻，是不能用一個全域的加速參考系去描述，即是用一個全域的加速參考系去抵消各時空點上的引力。但每一點的引力場是有一個相應的引力場強度，可用有一個與之相等的加速度（相對於靜止的觀察者）的局域的加速參考系，亦即是局域慣性參考系（相對於加速的觀察者）去描述，即是用一個局域的加速參考系去抵消各相應的時空點上的引力，然後將各個局域慣性參考系的關係統合起來（即是曲率和能動張量的關係），就可對全域的時空作抽述（例如運動定律）。

例如在狹義相對論中成立的能量-動量守恆定律有以下的形式：

在廣義相對論中有以下的形式：

（其中γ應為大寫Γ）

后兩項可看作加速度或引力場對守恆定律的影響。

等效原理的規範表述：

設K是一個伽利略參照系，它是這樣的一種參照系，相對於它（至少在所考查的四維區域內），有一個同別的物體離得足夠遠的物體在作勻速直線運動。設K’是第二個坐標系，它相對於K作均勻加速的平移運動。因此，一個離開別的物體足夠遠的物體，相對於K’該有一加速運動，而其加速度及其加速度的方向都同這一物體的物質組成和物理狀態無關。

一位對K’相對靜止的觀察者能否由此得出結論，說他是在一個“真正的”加速參照系之中呢？回答是否定的；因為相對於K’自由運動的物體的上述性狀可以用下面的方式作同樣恰當的解釋。參照系K’不是加速的；可是在所討論的時間-空間領域裡有一個引力場在支配著，它使物體得到了相對於K’的加速運動。

這種觀點之所以成為可能，是因為經驗告訴我們，存在一種力場（即引力場），它具有給一切物體以同樣的加速度那樣一種值得注意的性質。物體相對於K’的力學性狀，同在那些被我們習慣上當作“靜止的”或者當作“特許的”參照系中所經驗到的物體的力學性狀，都是一樣的；因此，從物理學的立場看來，就很容易承認，K和K’這兩參照系都有同樣的權利可被看作是“靜止的”，也就是說，作為對現象的物理描述的參照系，它們有同等的權利。

——摘自《廣義相對論的基礎》

我們通常雖然也說運動是一種相對運動，是相對於參考系說的，但我們認為運動是一個物體的性質，一個物體由於慣性保持速度不變。外力可以改變這種運動狀態。但我們通常指的運動其實是兩個物體的運動差。我們用運動差表示一個物體的速度。用參考系與物體的運動差表示為物體的速度或其他。或說用物體的速度表示兩個物體的運動差。

這樣兩個物體運動差的改變就變成一個物體的運動狀態改變。

運動差的改變與力有關。力是物體運動狀態發生改變的原因，兩物體的運動差發生改變，必有力作用在其中一個物體上。與選擇哪個物體作為參考系來描述運動差無關。

引力場中的慣性系可以認為參考系不受力或受力平衡，其他物體受到引力，引力屬於力的一種；加速系屬於參考系受力的類型，其他物體不受力，在參考系看來，其他物體受到慣性力。運動差的改變與力有關，不論是參考系受力，還是其他物體受力，力改變運動差的效果是一樣的。從這個角度說兩者等效。