代數拓撲

代數拓撲(Algebraic topology)是使用抽象代數的工具來研究拓撲空間的數學分支。

這裡的目標是取拓撲空間然後把它們進一步分成範疇或分類。該課題的舊稱之一是組合拓撲，蘊含著將重點放在如何從更簡單的空間構造空間X的意思。現在應用於代數拓撲的基本方法是通過代數不變數，把空間映射到不變數上，例如，通過一種保持空間的同胚關係的方式映射到群上。

實現這個的兩個主要方法是通過基本群，或者更一般的同倫理論，和同調及上同調群。基本群給了我們關於拓撲空間結構的基本信息，但它們經常是非交換的，可能很難使用。（有限）單純復形的基本群的確有有限表示。

另一方面來講，同調和上同調群是可交換群，並且在許多重要情形下是有限生成的。有限生成交換群有完整的分類，並且特別易於使用。

通過使用有限生成可交換群可以立刻得出幾個有用的結論。單純復形的n-階同調群的自由階等於n-階貝蒂數(Betti number),所以可以直接使用單純復形的同調群來計算它的歐拉特徵數。作為另外一個例子，閉流形的最高維的積分上同調群可以探測可定向性：該群同構於整數或者0，分別在流形可定向和不可定向時。這樣，很多拓撲信息可以在給定拓撲空間的同調中找到。

在只定義在單純復形的單純同調之上，還可以使用光滑流形的微分結構來通過德拉姆上同調或Čech上同調或層上同調來研究定義在流形上的微分方程的可解性。德拉姆證明所有這些方法是相互關聯的，並且對於閉可定向流形，通過單純同調得出的貝蒂數和從德拉姆上同調導出的是一樣的。

一般來講，所有代數幾何的構造都是函子式的：概念範疇,函子和自然變換起源於此。基本群，同調和上同調群不僅是兩個拓撲空間同胚時的不變數；而且空間的連續映射可以導出所相關的群的一個群同態，而這些同態可以用於證明映射的不存在性（或者，更深入的，存在性）。

代數拓撲的經典應用包括：

Brouwer不動點定理：每個從n維圓盤到自身的連續映射存在一個不動點。

n維球面可以有一個無處為0的連續單位向量場當且僅當n是奇數。(對於,這有時被稱為"毛球定理"。)

Borsuk-Ulam定理：任何從n維球面到歐氏n維空間的映射至少將一對對角點映射到同一點。

任何自由群的子群是自由的。這個結果很有意思，因為該命題是純代數的而最簡單的證明卻是拓撲的。也就是說，任何自由群G可以實現為圖X的基本群。覆蓋空間的主定理告訴我們每個G的子群H是某個X的覆蓋空間Y的基本群；但是每個這樣的Y又是一個圖。所以其基本群H是自由的。

代數拓撲中最著名的幾何問題是龐加萊猜想。它已經由Hamilton，Grigori Perelman等數學家們解決（龐加萊定理）。同倫理論領域包含了很多懸疑，最著名的有表述球面的同倫群的正確方式。