同倫群

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群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

同倫群(homotopy groups)基本群的高維推廣。基本群是從單位閉區間I到拓撲空間X的閉路的同倫等價類和其運算得到的。

基本群亦稱一維同倫群。對一個拓撲空間聯繫一個群的代數結構。

概念及性質


同倫群(homotopy groups)是基本群的高維推廣。基本群是從單位閉區間I到拓撲空間X的閉路的同倫等價類和其運算得到的。考慮n維歐氏空間R中的n維方體:
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是 的邊界,即:
同倫群
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存在i使得,
同倫群
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設X為拓撲空間,x∈X,用M(X,x)表示全體連續映射α:( , )→(X,x)所成的集合,α和α′相對於I的同倫關係αα′是M(X,x)上的一個等價關係,它把M(X,x)的元素分成一些同倫等價類,用π(X,x)表示這些等價類所成的集合。定義映射α*β:(I,I)→(X,x),使得:
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從而,α*β∈M(X,x),並且,若α∽α′,β∽β′,則:
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因此,可在π(X,x)中定義運算:
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並且關於這一運算使它構成群,仍記為π(X,x),稱為拓撲空間X的以x為基點的n維同倫群.1維同倫群就是基本群π(X,x).同倫群還有一種等價定義方式,它是用n維球面S代替n維方體I,這種定義給討論同倫群的性質有時帶來方便。類似基本群的討論,同倫群具有性質:當拓撲空間是道路連通空間時,其同倫群與基點選取無關;利用連續映射誘導的同倫群之間同態的一些性質得出,同倫群是同倫型不變數(更是拓撲不變的);當n≥2時,同倫群π(X,x)是交換群,因而有時把運算寫成[α]+[β]。同倫群與同調群的一些基本關係:對於連通復形K的多面體|K|,1維同調群同構於基本群的交換化,即:
同倫群
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這裡[π(|K|),π(|K|)]表示基本群π(|K|)的換位子群。高維同倫群與同調群之間的關係,由赫萊維茨(Hurewicz,W.)的同構定理給出:設|K|是連通復形K的多面體,當n≥2時,若|K|的1,2,…,n-1維同倫群都是平凡群,則π(|K|)xH(K)。


群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合,a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”,運算結果稱為“乘積”)滿足:
(1)封閉性,a·b∈G;
(2)結合律,即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b,在G中存在惟一的元素x,y,使得a·x= b,y·a=b,則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如,所有不等於零的實數,關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法),構成一個群。
滿足交換律的群,稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一,已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱,就存在群。例如,可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質,來定義各種幾何學,即利用變換群對幾何學進行分類。可以說,不了解群,就不可能理解現代數學。
1770年,拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時,首先引入群的概念,而它的名稱,是伽羅華在1830年首先提出的。

基本群


基本群亦稱一維同倫群。對一個拓撲空間聯繫一個群的代數結構。在拓撲空間X中對於以同一點x為基點的兩條閉道路α和β可引入乘法*:
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α*β是一條以x為基點的閉道路。這種乘法不一定滿足結合律,無法引入群結構。但是,在以x為基點所有閉路同倫類中,引入乘法:
[α]°[β]=[α*β],
這種定義是有意義的,並且以x為基點的全體閉路同倫類在引入這種乘法后構成一群,稱為X的以x為基點的基本群,記為π(X,x).基本群可以不是交換群。對於道路連通空間X,其基本群與基點的選取無關,記為π(X).對於兩個拓撲空間X與Y之間的連續映射f:(X,p)→(Y,q),它與X內以p為基點的閉路α的複合映射f°α是Y內以q為基點的閉路,並且兩條同倫的閉路與f的複合得出兩條同倫的閉路,因此,按照f([α])=[f°α]定義映射:
f: π(X,p)→π(Y,q),
於是f為同態,稱為f誘導的同態。由此得出基本群是拓撲不變數,進而基本群也是同倫型不變數。
計算基本群常常是將所討論的空間“歸結”或“分解”為更簡單的空間以算出其基本群,這些常見的方法有:
1.利用基本群的同倫型不變性.
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2.對於乘積空間可利用結論:當X和Y為道路連通空間時,π(X×Y) π(X)×π(Y).
3.利用覆疊空間理論.
4.利用范卡彭定理:若K是連通的復形,K,K,K都是K的連通的子復形,使得
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α是K的一個頂點,i和i分別是K的多面體|K|到K和K的多面體|K|和|K|的包含映射,則|K|的基本群π(|K|,a)可從π(|K|,a)與π(|K|,a)的自由乘積中添加關係i(z)=i(z)得到,其中z取遍π(|K|,a)的一切元素。
范卡彭定理適用於可剖分空間,並可推廣到更一般的加一定限制的拓撲空間。例如,用以上方法可得到圓周S的基本群為π(S)Z,可縮空間的基本群為平凡群,默比烏斯(Mo¨bius,A.F.)帶M的基本群π(M)Z,環面T的基本群為π(T)Z×Z,n維球面S(n≥2)的基本群π(S)為平凡群,以及克萊因瓶K的基本群π(K){t,u|tut=u}(或{a,b|a=b}),這裡Z表示整數加群。