域擴張

數學中，更確切的說是在抽象代數中，域擴張（field extensions）是域論中的主要研究對象。一般想法是從一個基域開始以某種方式構造包含基域的更大的域並滿足其他一些性質。

設L是一個域。如果K是L的一個子集在域L中的加法與乘法運算封閉且K中每個元素的加法與乘法逆仍在K中，則我們說K是L的一個子域，L看作K上的擴域，叫做K上的域擴張，記作。

L的包含K任一子域叫做域擴張的一個中間域（或中間擴張或子擴張）。

給定一個域擴張以及L的一個子集S，我們記K(S)為L包含K與S的最小子域。我們說K(S)由將S中元素添加到K中生成。如果S只包含一個元素s，我們通常將K({s})記成K(s)。這樣形式的域擴張稱為單擴張，而s稱為這個擴張的本原元。

給定一個域擴張，則L也可視為K上一個矢量空間。L中的元素是矢量而K中的元素是數量。矢量加法就是L中加法，數量乘法是用K中的元素乘以L中的元素。這個矢量空間的維數稱為擴張的度數，記作。

度數1的擴張（即L等於K）稱為平凡擴張。度數為2和3的擴張分別稱為二次擴張與三次擴張。由度數是有限或無限決定一個擴張稱為有限擴張或無限擴張。

如果是一個域擴張，則L和K有相同的0和1。加法群是的一個子群，乘法群是的一個子群。特別地，如果x是K的一個元素，則在K中的加法逆−x與在L中的加法逆相同；同樣對K中非零元素的乘法逆也成立。

特別地，L與K的特徵相同。

如果L是K的一個擴張，L中一個元素若是K上一個非零多項式的根則稱在K上是代數的。不是代數的元素則稱為超越的。

例子：

(1)在中，i是代數的，因為它是的一個根；

(2)在中，e是超越的，因為沒有任何有理係數多項式以e為根；

如果L的每個元素在K上都是代數的，則擴張稱為代數擴張；不然稱為超越的。如果L中除了在K中的元素在K上都是超越的，則此擴張稱為純超越的。可以證明一個擴張是代數的當且僅當是它的有限子擴張之並。特別的，每個有限擴張是代數的。

例子：

與，是有限的，所以是代數的。

是超越的，但不是純超越的。

任意域K有一個代數閉包；本質上這是在K上代數的最大域擴張，包含所有K係數多項式方程的根。

一個域擴張稱為正規的，如果中有一個根在L中的每個不可約多項式可以完全分解為L上線性因式的乘積。每個代數擴張有一個正規閉包L，它是域F的一個擴張使得是正規的並是滿足此性質的極小擴張。

一個代數擴張稱為可分的，如果L中每個元素在K上的極小多項式是可分的，即在K的一個代數閉包中沒有重根。一個伽羅瓦擴張是既正規又可分的域擴張。

在一個域擴張中，L的全部K-自同構成一群，叫做的伽羅瓦群，記成。

在中間域與伽羅瓦群的子群之間有一個雙射，這就是伽羅瓦理論基本定理。

記號純粹是形式的，不表示商環或商群，或其他任何形式的除法。在某些文獻中使用記號。

經常希望在較小的域不是包含在較大的域中但是自然嵌入時談論域擴張。為此，抽象地定義域擴張為兩個域之間的一個單環同態。域之間的任何環同態是單射，故域擴張正好是域範疇中的態射。

在上面的討論中我們，我們忽略單同態，處理的是真正的子域。