代數元

代數元(algebraic element)是域論的基本概念之一。設K是域F的擴域，K中元α稱為F上代數元，是指α為F上某非常量多項式f(x)的根，即存在F中元使：

其中。若這樣的多項式不存在，則α稱為F上的超越元。若α是F上的代數元，F[x]中以α為根的次數最低的首1多項式稱為α的最小多項式，則其次數n稱為α在F上的次數，α稱為n次代數元。最小多項式在F上是不可約的。

域論是代數數論的重要理論之一。它深刻地刻畫了(相對)阿貝爾擴張。基本定理如下：若K/k為數域的有限阿貝爾擴張，伽羅瓦群為，則存在k的模f(稱為K/k的導子，是k的一個除子)，使得對k的任意的模m，由f|m得出G同構於m射線類群，式中I(m)為與m互素的k的理想集，N(m)為與m互素的K的理想到k的范全體，P為模m餘1的生成的主理想集。且k的素除子v在K分歧當且僅當v|f；k的與m互素的素理想p在K完全分裂當且僅當p∈PN(m)。反之，對k的任一模m及I(m)的任一含P子群H，總存在惟一阿貝爾擴張，使得且上述事實均成立。特別地，。更經常的是用伊代爾語言敘述類域論的定理。基本定理：若 為數域的有限阿貝爾擴張，則伽羅瓦群 同構於，式中J為k的伊代爾群，NJ為K的伊代爾群到k的范。上述群的同構由阿廷映射給出。由此可得出，數域k的諸有限阿貝爾擴張 與J的含k諸開子群H之間一一對應，即K對應於，稱為H的類域，；這一對應是這兩個格(對於複合(或積及交))的反向(包含關係)格同構。類域論有系統的定理和應用，有多種不同的表述方式。對於局部域的阿貝爾擴張有類似的定理(局部類域論)，對於有限域上的單變數函數域也有類似的定理。

域論的基本概念之一。若域K包含域F作為它的子域，則稱K是F的一個擴張(或擴域)，F稱為基域，常記為。此時，K可以看成F上的向量空間。研究擴域K(相對於基域F)的代數性質，是域論研究的一個基本內容。

若域E是F的擴域，K是E的擴域，則稱E是域擴張K/F的中間域。若K/F是域擴張，S是K的子集，且F(S)是K的含F與S的最小子域，稱F(S)為F添加S的擴域。當是有限集合時稱為添加於F的有限生成擴域(或者F上的有限生成擴張)。它由一切形如：

的元組成，其中

由於這個原因，當，也稱為F上的代數函數域。當時，稱F(α)為F的單擴張域，也稱本原擴域。F的有限代數擴域K是單擴域的充分必要條件是，擴域K與基域間存在有限個中間域。這是施泰尼茨(Steinitz，E.)證明的。

施泰尼茨是德國數學家。生於德國西里西亞(Silesia)(今屬波蘭)，卒於基爾(Kiel)。1894年獲得博士學位，後任教於布雷斯勞(Breslau)工業學院(1910～1920)和基爾大學(1920—1928)。他對抽象域進行了綜合的研究，著有《域的代數理論》(AlgebraischeTheorie der Körper，1910)。施泰尼茨認為，每一個域K都可以從它的素域(即K的所有子域的公共元素所構成的子域)出發，經過如下的添加而得到：首先作一系列(可能無限多的)超越添加(transcendentaladjunction)得到一個超越擴張，然後對這個超越擴張又作一系列代數添加。如果一個域K’能夠從一個域K經過一串單純代數添加而得到，那麼就稱K’為K的一個代數擴張。施泰尼茨證明了，對於每一個域K，存在一個唯一的代數封閉域K’，使得K’是K的代數擴張。他還研究了伽羅瓦方程理論在域中的有效性問題。