阿貝爾擴張
阿貝爾擴張
阿貝爾擴張(Abelian extension)是一類重要的域擴張，設K是域F的伽羅瓦擴域，若其伽羅瓦群G(K/F)為一阿貝爾群，則稱此擴張為阿貝爾擴張，此時，K稱為F上阿貝爾擴域。這是一類較廣泛的域擴張，循環擴張、分圓擴張及庫默爾擴張等均為阿貝爾擴張的特例。
一個擴張稱為 阿貝爾擴張，如果是阿貝爾群。一個一次根式擴張是一個阿貝爾擴張。
多重阿貝爾擴張(multiple Abelian extension)是由一串阿貝爾擴域構成的域擴張，設K是域F的擴域，若存在K的一串子域鏈
使得是的阿貝爾擴域，則稱K為F的 多重阿貝爾擴張，或 多重阿貝爾擴域。根式擴域、素階群擴張塔皆為多重阿貝爾擴域。
庫默爾擴張(Kummer extension)是阿貝爾擴張的一種類型，設E是域F的一個阿貝爾擴域，若E/F的伽羅瓦群中元素的最大階數為m(m稱為G的指數)，並且F含m個不同的m次單位根，則E稱為F的 庫默爾m擴張；E稱為庫默爾域，例如，設F含本原n次單位根，且E為多項式
在F上的分裂域，則E是F的 庫默爾n擴張。此時，E是F的阿貝爾擴域且F的特徵數不能整除n，於是，在E內無重根，所以，是可分的，從而是正規的。
分圓域擴張(cyclotomic field extension)是一類重要的阿貝爾擴張，設Ω是域F的代數閉包，其中間域K稱為F的一個分圓擴域，若K是通過對F添加某些單位根而生成的，此域擴張稱為 分圓域擴張。K是域F的有限次分圓擴域的充分必要條件為，存在一個本原單位根，使。對有理數域Q添加一個本原n次單位根ξ所得的分圓擴張Q(ξ)稱為圓的n分域，它是有理數域Q的φ(n)次阿貝爾擴域，其中φ(n)為歐拉函數。n分域來源於
其中，從而可將單位圓n等分。
克羅內克青春之夢(Kronecker’sdream of youth)是代數數論中分圓域理論方面的一個問題。所謂分圓域，是指在有理數域上添加n次本原單位根 而得到的數域 。如果L/K是數域的阿貝爾擴張，且它的伽羅瓦群是阿貝爾群，那麼L被稱為K的 阿貝爾擴張。如果K是有理數域Q的阿貝爾擴張，那麼K被稱為阿貝爾數域。從伽羅瓦理論可知，分圓域的每個子域都是阿貝爾數域，反之，每個阿貝爾數域也必定是某個分圓域的子域，這就是著名的 韋伯-克羅內克定理。關於希爾伯特第12問題：能否對任意的代數數域K明顯地構造出K的全部阿貝爾擴張？上述定理給出了時的結果。1853年，30歲的德國數學家克羅內克猜想：每個虛二次域K的極大阿貝爾擴域是將K添加某種橢圓函數在全部有理點處的取值而得到的域，這就是所謂 克羅內克青春之夢。這一猜想引起許多學者的興趣，希爾伯特也曾做過重要工作。1920年，日本數學家高木貞治創立了 類域論，他把類域的定義作了推廣，證明了一個代數數域的任何阿貝爾擴張都可以表示為該數域上的類域。這樣一來，一般阿貝爾擴張的性質就十分清楚了，從而徹底解決了克羅內克的猜想。
類域論是代數數論中最為重要的理論之一，也是數學所有理論中體系最為完美的理論之一，它深刻地刻畫了(相對)阿貝爾擴張。
類域論是描述下列幾種類型的域k的Abel擴張(Galois群是交換群的有限Galois擴張)的理論：
(1)k為代數數域，即有理數域Q的有限擴張；
(2)k是p-adic數域的有限擴張；
(3)k是有限域上一個變數的代數函數域；
(4)k是有限域上的形式冪級數域。
在類域論中，最為著名的就是由Kronecker，Weber，HiIberr還有其他一些數學家總結出來的類域論基本定理：
(1)使得對k的任意模m，由得出
其中為與m互素的k的理想集，為與m互素的K的理想到k的范的全體，為模m餘1的生成的主理想集；
(2) k的素除子v在K分歧當且僅當；k的與m互素的素理想p在K中完全分裂當且僅當；
(3) 對k的任意模m和的任一含的子群H，總存在唯一的Abel擴張使得，特別地定理中，稱為 射線理想類群，所謂射線理想類群即是一種廣義理想類群，它是類域論最初的表述語言(馬上將會用伊代爾語言給出類域論基本定理)。數域k的一個模(或稱為閉鏈)是指其素除子的一個形式積
此積式中v遍歷k的素除子，整數只對有限個v非零，且當v是實除子時 或1，當v是復除子時。對於，定義為 (當v是素除子)以及到vC嵌入為正實數(為實除子)。滿足的生成的主理想的全體記為，與m互素的k的理想全體記作，於是 便稱為k的以m為模的射線理想類群，其元素個數稱為射線理想類數。
上面已經提到，射線理想類群是類域論基本定理的最初表述語言，而更常用的是伊代爾語言，下面就給出類域論基本定理的伊代爾語言。
定理1'(類域論基本定理的伊代爾語言)若是數域的有限Abel擴張，則
上述群的同構是由Artin映射(Artin符號)給出的。由類域論基本定理的伊代爾語言可以看出，數域k的所有具有Abel擴張與的含的所有開子集H之間存在一一對應關係，即K對應於，稱為H的類域(Class Field)，且
(類域論主同構)
(2)和(4)類型的域稱為 局部的，(1)和(4)類型的域稱為 整體的。於是，相應的就有 局部類域論和 整體類域論。