局部類域論
局部類域論
局部類域論(local class field theory)是刻畫局部域的阿貝爾擴張的系統的理論，可由(整體)類域論導出；也可先用較特別的方法證明局部類域論，再由此推演出整體類域論。基本定理：若K/k為局部域的有限阿貝爾擴張，則伽羅瓦群G(K/k)同構於k*/NK*，而慣性群T(K/k)同構於Uk/NUK，式中N表示從K到k的范映射，Uk為k的單位群，同構均由阿廷映射給出，由此，k的諸有限阿貝爾擴張K/k與k*的諸開子群H之間一一對應，包含關係相反，即K對應於H=NK*，G(K/k)≌k*/H 。
類域論是代數數論中最為重要的理論之一，也是數學所有理論中體系最為完美的理論之一。
類域論是描述下列幾種類型的域k的Abel擴張(Galois群是交換群的有限Galois擴張)的理論：
(1)k為代數數域，即有理數域Q的有限擴張；
(2)k是p-adic數域 的有限擴張；
(3)k是有限域上一個變數的代數函數域；
(4)k是有限域上的形式冪級數域。
在類域論中，最為著名的就是由Kronecker，Weber，HiIberr還有其他一些數學家總結出來的類域論基本定理：
(1)使得對k的任意模m，由 得出
其中 為與m互素的k的理想集，為與m互素的K的理想到k的范的全體，為模m餘1的 生成的主理想集；
(2) k的素除子v在K分歧當且僅當；k的與m互素的素理想p在K中完全分裂當且僅當；
(3) 對k的任意模m和 的任一含 的子群H，總存在唯一的Abel擴張 使得，特別地
此積式中v遍歷k的素除子，整數 只對有限個v非零，且當v是實除子時 或1，當v是復除子時。對於，定義
為 (當v是 素除子)以及 到vC嵌入為正實數( 為實除子)。滿足 的 生成的主理想的全體記為，與m互素的k的理想全體記作，於是 便稱為k的以m為模的射線理想類群，其元素個數 稱為射線理想類數。
上面已經提到，射線理想類群是類域論基本定理的最初表述語言，而更常用的是伊代爾語言，下面就給出類域論基本定理的伊代爾語言。
定理1'(類域論基本定理的伊代爾語言) 若是數域的有限Abel擴張，則
上述群的同構是由Artin映射(Artin符號)給出的。由類域論基本定理的伊代爾語言可以看出，數域k的所有具有Abel擴張與的含的所有開子集H之間存在一一對應關係，即K對應於，稱為H的類域(Class Field)，且
(類域論主同構)
(2)和(4)類型的域稱為 局部的，(1)和(4)類型的域稱為 整體的。於是，相應的就有 局部類域論和 整體類域論。
所謂局部類域論即是刻畫局部域的Abel擴張的系統理論，它可由類域論導出，當然，也可先用較為特別的方法證明局部類域論，再由此推出整體類域論，局部類域論也有相應的基本定理。
定理2 若為局部域的有限Abel擴張，則
其中表示從K到k的范映射(范子群)，為慣性群，為k的單位群，同構同樣由Artin映射(Artin符號)給出。由此可見，k的所有有限Abel擴張與的所有開子群H之間存在一一對應關係，即K對應於
(局部類域論主同構)
反之，的所有具有有限指數的開子群都可以成為某一Abel擴張K的范映射(范子群)，這便是 局部類域論的存在性定理。
下面介紹類域論中的幾個重要定理。
定理3(分裂定理) 設是H的類域()，v是k的素除子，則v在K(完全)分裂當且僅當。
定理5(同構定理) 數域k的Hilbert類域的Galois群與k的理想類群同構。
定理6(主理想定理) 數域k的任一理想到k的Hilbeft類域K上總為主理想，即總為K的主理想，為K的整數環。