分析學

狹義的分析學（analysis），指數學分析。以微分學、積分學、級數論、實數理論為其基本內容。

廣義的分析學（analysis）。極限的概念不僅是微積分的核心，也是許多其他學科的重要思想。微積分是近代數學的基礎，從它已產生許多新的數學分支，如微分方程、函數論、變分法、泛函分析等，統稱為廣義的分析學。

20世紀初年以前，一般將全部數學分為三大基本分支：分析學、代數學和幾何學。當然，對於現代數學，已難於做如此的概括。像微分方程和概率論等學科，它們的創立都與分析密切相關，但由於它們各有獨特的研究對象，從而發展了各自的龐大系統，不能繼續將它們歸屬於分析學。一般而論，現代分析可分為實分析、複分析和包括泛函分析在內的抽象分析三大部分，它的研究對象已不限於函數，研究方法也日益綜合。

分析這個學科名稱，大約是由牛頓（Newton）最早引入數學的，因當時微積分被看做代數的擴張，“無窮”的代數，而“分析”與“代數”同義。今天它所指雖然更廣，但仍然只是對所含學科方法上共同特點的概括，而且愈來愈不容易與代數、幾何的方法完全分清了。

分析學中最古老和最基本的部分是數學分析。它是在17世紀為了解決當時生產和科學提出的問題，經過許多數學家的努力，最終由牛頓和萊布尼茨（Leibniz）創立的。但是為分析建立嚴格邏輯基礎的工作卻遲至19世紀方才完成。此後，數學分析才成為一個完整的數學學科。數學分析是最早系統研究函數的學科，它所研究的雖說基本上只是一類性質相當好的函數——區間上的連續函數，但無論在理論上或應用方面至今都有重要意義。在理論方面，數學分析是分析學科的共同基礎，也是它們的發源地。現代分析的諸多分支中，有一些在其發展初期曾經是數學分析的一部分（例如變分法、傅里葉分析以至複變函數論等），而另一些則是在數學分析的完整體系建立以後，由於各種需要，在對數學分析中的某些問題的深入研究和拓廣之中發展起來的，像實變函數論、泛函分析和流形上的分析就屬於這種情況。

19世紀末到20世紀初，由於某些數學分支（例如傅里葉分析）和物理等學科發展的需要，不但促使數學分析中函數可積的概念逐步明確，還進一步要求將積分推廣到更廣的函數類上去，希望積分運算更加靈活方便。同時，在對數學分析中各個基本概念之間的關係的繼續探討中（例如，微分和積分互為逆運算在一般意義上是否成立），人們也感到必須突破數學分析的限制。

在這方面，20世紀初，由勒貝格（Lebesgue）提出的積分理論有重大意義，而實變函數論的中心內容就是勒貝格積分的理論。作為黎曼積分的推廣，勒貝格積分不僅可積函數類廣，還具有可數可加性等良好性質，積分號下求極限的條件也較寬鬆，它的理論已經發展得充分完備，因而更適合數學各分支及物理的需要。由於勒貝格可積函數的空間（函數類）的完備性，使它在數學理論上佔據黎曼積分所不可能有的重要地位。實變函數論同數學分析一樣，也研究函數的連續性、可微性、可積性這些基本性態，但由於應用了集合論的方法，使它有可能研究一般點集上的函數，從而研究的結果比數學分析更廣、更完善。因此，實變函數論也成為分析學各分支（特別是泛函分析等近代分支）的共同基礎之一。在關於微分和積分是否互為逆運算的問題上，勒貝格積分的結果就比黎曼積分情形進了一步。但是，為了徹底解決這個問題，後來又有人提出過多種更廣的積分理論，例如，當儒瓦積分和佩龍積分，最後由廣義當儒瓦積分（1916年）對前述問題作了肯定的回答。然而，這些積分除了在特定的理論問題上有重要意義外，遠不如勒貝格積分普遍適用。勒貝格積分是建立在勒貝格測度的基礎之上的，後者向抽象方面進一步發展，又促使對於測度的系統研究形成獨立的學科，這就是測度論。測度是面積、體積概念的推廣，它和積分概念始終緊密相聯，測度論的思想和理論在現代分析中是十分重要和很有用的。

分析學的諸多經典分支，或分析學各學科的經典部分中，數學分析、單複變函數論和實變函數論具有基礎性質，它們全面研究所論函數的基本性態。除此以外，它的大多數分支主要從某個側面去研究函數。例如，調和分析主要研究函數用傅里葉級數（或傅里葉變換）表示的問題，並利用這種表示去研究函數的性態。事實證明，這是研究函數重要而有效的途徑，它的思想和方法在許多數學分支中用到。函數逼近論研究用某些性質良好的函數逼近一般函數的可能性及誤差（逼近階）等性質，以及反過來用這些性質去刻畫函數。凸分析主要研究一類重要的非線性函數——凸函數。經典的變分法研究泛函的極值問題，這裡的泛函一般限於含有變元函數的積分，因此也可以說它還是研究函數的。在今天，這些以函數為主要對象的經典學科，仍然是分析學的重要組成部分。

分析學的各經典學科多形成於17至19世紀之間，但除去數學分析、單複變函數論和實變函數論的基礎內容已基本定型之外，其他的都在不斷拓展它們的研究領域。象調和分析是從一元函數的傅里葉級數理論發展起來的，原來也稱為傅里葉分析，但現今它的主要內容卻是多元（函數的）調和分析和群上的調和分析（抽象調和分析），從研究的問題到方法上都有很大變化。在一些問題中，傅里葉變換逐漸被別的由它演變來的更有力的工具替代，因而很難繼續用后一名稱來概括它的全部內容。函數逼近論在初期主要討論用代數的或三角的多項式逼近連續函數的有關問題，而現今所考慮的作為逼近工具的特殊函數和被逼近函數的類型都豐富多了。從這些學科的發展中可以看到，它們的研究對象正隨之發生變化。與其說它們研究的仍然是函數，不如說主要是某些函數空間（函數類）和運算元（變換）更為恰當，有關研究已推廣到了群、流形或其他抽象的基域上。位勢論的發展有類似的情況。經典的位勢論研究牛頓位勢（一類偏微分方程邊值問題的積分形式的解），而現代位勢論中所討論的一般位勢，實質上與牛頓位勢相似，無非是關於某種測度對適當的核的特殊積分運算元。群上的位勢論也正在發展。對諸如此類的空間及運算元抽象、系統的研究屬於泛函分析。它是20世紀初發展起來的學科，是經典分析在近代的拓展。

另一個新的分析學科是流形上的分析，一般認為它在20世紀中期才形成獨立分支。它研究定義在流形上的函數，而流形上一般沒有統一坐標，只在每點存在與歐氏空間中的開集同胚的鄰域，因此，流形上的局部分析與經典的歐氏空間的分析相仿，整體分析則複雜得多，流形上的分析指的就是後者（或稱大範圍分析）。它可以在流形這個全新背景之下，研究與各個經典分析學科相應的問題，是經典分析的現代拓展。例如，大範圍變分法充實了大範圍分析的內容，它既是變分法的現代發展，又可以看做流形上的分析的一部分。由於流形上的函數的性態與流形本身的幾何、拓撲性質密切相關，從而可以認為，流形上的分析是分析學與幾何、拓撲、代數互相綜合的產物。這也反映了現代數學發展的特點。

各學科密切聯繫、相互滲透與綜合是現代數學發展的重要特點。現代分析學的發展，除了依靠本身的基礎之外，特別吸收和利用了集合論、代數以及拓撲的思想和方法。已經提到的泛函分析和流形上的分析的形成和發展就是如此。再如，抽象調和分析和大範圍變分法等，它們的基本問題還屬於經典分析的推廣，可是方法上完全離不開代數和拓撲，並都已形成獨立的分支。離散化的方法在分析中用得越來越多，一些抽象代數的概念和理論被用到過去與它無緣的分析問題中。至於分析學內部各學科的結合就更多了，特別是泛函分析與其他經典學科的結合，現時已很平常。廣義函數論已普遍成為許多經典分析領域的研究工具。前面提到過調和分析等學科對某些函數空間及運算元的研究，這方面問題的提法和研究方法都有很多借鑒於泛函分析，並依賴於運算元論的成果，又有各自的特點，代表了各自的發展方向，從而對泛函分析也是補充和發展。

其次，實分析與複分析的結合，也很引人注目。哈代空間理論的發展，可以作為這方面的典型例子。在20世紀初，它完全是複變函數論的一部分，20世紀60年代以後，在此基礎上發展了多元哈代空間的實變理論，這又促進了多複變函數論在這方面的研究。分析學還與其他許多數學學科在內容上有複雜的交叉，思想和方法上聯繫密切。其中一些是長期存在而又有所發展的，如調和分析、變分法、位勢論與微分方程的關係，而新近的則如調和分析、位勢論與概率論的聯繫都是很突出的例子，這對雙方學科的發展都很有影響。這類相互間的聯繫、滲透和綜合已經十分普遍和深入，這就使得分析學的研究者，或者只想學習和了解現代分析的人，都應有多方面的數學知識基礎。

分析學屬基礎數學範疇。作為純粹數學學科，分析學的發展雖不以在科學技術中的應用為直接目的，然而隨著時代的發展，很多抽象的數學概念和理論都在物理以及現代科技中找到實際背景或應用。微積分的創立，本來就有物理方面的源泉，所以分析學與物理的緊密聯繫從牛頓時代就開始了。以後在不同時代建立的一些分析學科（如變分法、位勢論等）發展了這種關係。現代分析中對於某些運算元的研究以及流形上的分析理論等在物理中的應用就更深入了。同時，電子計算機的發展不僅擴大了數學的應用範圍，另一方面，而且也為數學理論研究提供了有力工具。在分析學方面，函數逼近論的某些方向（如樣條函數逼近等）曾顯得十分活躍，就因為它在與計算機相聯繫的計算數學中有廣泛的應用。又由於計算機使許多最優化問題有可能實際求解，進而推動了變分法和凸分析的某些方向的發展。傅里葉分析在圖象和信號處理的應用中，一直是重要的工具，現時發展起來的小波分析藉助於計算機，在許多科學分支（如天體物理和地球物理等）中得到更廣泛的應用。其實，計算機對數學的影響，決不限於某些應用及與它直接相關的理論方面。計算機的發展已直接影響到數學教學，並將進一步影響到整個數學的發展。現時由於機器證明有新的突破，人們日益注目於數學推理的構造性以及數學的機械化，這對於分析學這樣的純粹數學學科，無例外地將有越來越大的影響。

總之，分析學自微積分創立以來，歷經三百餘年的發展，至今形成一個龐大的分支體系。它影響和改變了整個數學的面貌。在現代科學技術的推動下，分析學仍在蓬勃地向前發展。