愛爾蘭根綱領

有一個'幾何'還是很多個？自歐幾里德以來，幾何意味著二維(平面幾何)或者三維(立體幾何)歐氏空間的幾何。在19世紀上半葉，有了一些發展使得這個景象變得複雜了。數學應用要求有四維或者更高維的幾何；對傳統歐氏幾何的基礎的審視已經揭示出平行公理和其他公理的獨立性，而且非歐幾何已經誕生；而在射影幾何中，新的'點'(無窮遠點，有複數坐標的點)已經被引入。

用抽象術語來說，這個解決辦法是使用對稱性作為根本的原則，並且從一開始就陳述不同的幾何可以共存，因為它們處理不同類型的命題和不同類型的對稱性和變換下的不變數。仿射幾何和射影幾何的區別就在於諸如平行這種仿射不變數的概念是前者的恰當主題，而對後者來說卻不是主要概念。然後，通過從各個幾何中抽象出基礎的對稱群，它們之間的關係可以在群的級別重新建立。因為仿射幾何的群是射影幾何的群的子群，所有射影幾何的概念不變數先驗的在仿射幾何中有意義；但是反過來不行。如果你包含更多對稱性進來，你就有一個更強的理論，但更少的概念和定理(但會更深刻和一般化)。

換而言之，各種"傳統空間"是齊性空間；但是不是對於一個唯一確定的群。改變群就改變了相應的幾何語言。

在今天的語言中，經典幾何中考慮的群都是很著名的李群。特定的關係用技術化的語言很容易描述。

例如n維射影幾何的群就是n維射影空間的對稱群(n+1階矩陣群，取和標量矩陣的商)。該仿射群是保持所選的無窮遠超平面不變(映射集合到自身，不是固定每一點)的子群。這個子群有一個已知的結構(n階矩陣群和平移子群的准直積)。這個表述告訴我們什麼性質是'仿射的'。用歐氏平面幾何術語，平行就是：仿射變換總是將一個平行四邊形變成另一個平行四邊形。而圓不是仿射地，因為仿射剪切可以把圓變成橢圓。

要精確的解釋仿射和歐氏幾何之間的關係，我們要在仿射群中點出歐氏幾何的群。歐氏群實際上是(採用前面仿射群的表述)正交(旋轉和反射)群和平移群的准直積。

愛爾蘭根綱領的長期效應可以在純數學的很多方面顯現出來(例如，參看相似中隱含的使用);而變換的思想和用對稱群綜合的思想當然也已成為物理學中的標準做法。

當拓撲照例使用同胚下的不變數的術語來表述時，我們可以看到操作背後的基礎思想。所涉及到的群在幾乎所有情況下 - 除了李群 - 都是無窮維的，但其方法是一樣。當然這只是說克萊因的影響啟發。諸如H.S.M. Coxeter所寫的書例行的採用愛爾蘭根綱領的方法來幫助'定位'幾何。用說教的術語，該綱領成了變換幾何，這是一個有一些不良影響的好事，它比歐幾里得的風格建立在更強的直覺上，但是也更難轉換成為邏輯體系。

對於一個幾何和它的群，群的一個元素有時叫做該幾何的一個運動。例如，可以通過基於雙曲運動的一個發展來學習雙曲幾何的龐加萊半平面模型。

經常，兩個或者更多的不同的幾何有同構的自同構群。這就產生了從愛爾蘭根綱領的抽象群解讀出具體的幾何的問題。

一個例子: 可定向 (也就是說，反射是除外的)橢圓幾何 (也就是，把n球面相對點等同的曲面)和可定向 球面幾何 (同樣的非歐幾何，但是相對的點沒有等同起來)有同構的自同構群，偶數n的SO(n+1)。這兩個看起來不同。但是事實上，這兩個幾何緊密相關，以一種可以精確描述的方式。

在舉一例，不同曲率半徑的橢圓幾何有同構的自同構群。這其實不能算作一個評價，因為所有這種幾何同構。一般的黎曼幾何在這個綱領所能包括的邊界之外。

更多值得注意的例子產生於物理學中。

首先，n維雙曲幾何，n維de Sitter空間和(n−1)維逆幾何(inversive geometry)都有同構的自同構群，

O(n,1)/\mathbb{Z}_2,

正確時間的洛倫茲群，對於n ≥ 3的情況。但是這些顯然是不同的幾何。這裡，有些有趣的結果從物理學中進來。已經證明這三個幾何中的任何一個中的物理模型是對於某些模型對偶的。

還有, n維反de Sitter空間和有"洛倫茲"特徵數的(n−1)維共形空間（conformal space）(和有"歐幾里得"特徵數的共形空間不同，那種和逆幾何相同，對於3維以上情況)有同構的自同構群，但是不同的幾何。再次，在物理中有一些在兩個空間中對偶的模型。更多的細節參看AdS/CFT。

所以，在和物理中的對偶性的關係中，愛爾蘭根綱領還是可以視為相當豐富的。

克萊因的觀點實際上將幾何視為兩個群(通常是李群)的商G/H,上節提到相關的各種幾何的同構的自同構群也就是同構的H。因而，上述的愛爾蘭根綱領的局限性可以通過引入附加的結構來彌補。換而言之，克萊因幾何沒有考慮空間的不均勻性，因而只有齊性空間得到了處理。如果在此基礎上引入聯絡，則就像引入度量將歐氏幾何推廣為黎曼幾何一樣，我們將克萊因幾何推廣到了卡當幾何。細節可以參看卡當聯絡。