洛朗級數

函數f(z)關於點c的洛朗級數由下式給出：

由以下的路徑積分定義，它是柯西積分公式的推廣：

積分路徑γ是一條逆時針方向的可求長曲線，把c包圍起來，位於圓環A內，在這個圓環內f(z)是全純函數。f(z)的洛朗級數展開式在這個圓環內的任何地方都是正確的。

在數學中，複變函數f(z)的洛朗級數，是冪級數的一種，它不僅包含了正數次數的項，也包含了負數次數的項。有時無法把函數表示為泰勒級數，但可以表示為洛朗級數。洛朗級數是由Pierre Alphonse Laurent在1843年首次發表並以他命名的。卡爾·魏爾斯特拉斯可能是更早發現這個級數的人，但他1841年的論文在他死後才發表於世。

函數f(z)關於點c的洛朗級數由下式給出：

其中an是常數，由以下的路徑積分定義，它是柯西積分公式的推廣：

積分路徑γ是位於圓環A內的一條逆時針方向的可求長曲線，把c包圍起來，在這個圓環內是全純的（解析的）。的洛朗級數展開式在這個圓環內的任何地方都是正確的。在右邊的圖中，該環用紅色顯示，其內有一合適的積分路徑。如果我們讓是一個圓，其中，這就相當於要計算的限制到上的復傅里葉係數。這些積分不隨輪廓的變形而改變是斯托克斯定理的直接結果。

在實踐中，上述的積分公式可能不是計算給定的函數係數最實用的方法；相反，人們常常通過拼湊已知的泰勒展開式來求出洛朗級數。因為函數的洛朗展開式只要存在就是唯一的，實際上在圓環中任何與相等的，以上述形式表示的給定函數的表達式一定就是的洛朗展開式。

復係數洛朗級數是複分析中的一個重要工具，尤其在研究函數奇點附近的行為時。

e和洛朗近似：見文中解釋。隨著洛朗級數負次數的增長，圖像接近正確的函數。 e和洛朗近似的負次數的增長。奇點零的鄰域不能被近似。

考慮例如函數，它的。作為實變函數，它是處處無窮可微的；但作為一個複變函數，在處不可微。用替換指數函數的冪級數展開式中的x，我們得到其洛朗級數，對於除了奇點以外的所有複數，它都收斂並等於ƒ(x)。旁邊的圖顯示了e（黑色）和它的洛朗近似

對於到50。當，近似對除了奇點處的所有複數x都很精確。

更一般地，洛朗級數可以用來表達定義在圓環上的全純函數，就像冪級數被用於表達一個圓盤上定義全純函數一樣。