算學啟蒙

算學啟蒙上中下三卷，元大德己亥(1299年）朱世傑撰，共20門，凡259問，所採用的名詞術語，多與《四元玉鑒》為表裡，由卷首列的籌算布列規則，直到天元術，由淺入深，循序漸進，名為啟蒙，實為《四元玉鑒》的導引。《算學啟蒙》卷首有淮楊數學家趙元鎮的序。趙元鎮也曾出資替朱世傑刻印《四元玉鑒》本書包括了從乘除法運算及其捷演演算法到開方、天元術、方程術等當時數學各方面的內容，由淺入深，形成了一個較完整的體系。正文前，列出了九九歌訣、歸除歌訣、斤兩化零歌、籌算識位制度、大小數進位法、度量衡制度、圓周諸率、正負數加減乘法法則、開方法則等18條作為總括，作為全書的預備知識，其中正負數乘法法則不僅在中國數學著作中，在世界上也是首次出現。許多歌訣比楊輝的更加完整準確，有的已與現代珠算口訣幾乎完全一致。這是中國數學著作中第一次出現的與現今一致的口訣。

本書的正文分3卷，20門，259問。卷上8門，113問，包括各種乘除捷演演算法和歌訣的應用題，以及各種比例演演算法。許多問題反映了元代的社會經濟情況。卷中7門，71問，是面積、體積及各種算術問題。卷下5門，75問，是關於分數運算、垛積（即高階等差級數求和）、盈不足術、線性方程組解法、天元術及增乘開方法等問題。還處理了開方過程中係數變號的問題。

《算學啟蒙》是一部很好的數學教材，它把當時的初級和中級數學知識從乘除口訣開始，包括面積、體積、比例、開方、高次方程、天元術等，有例題，有方法，分門別類，由淺入深，循序漸進，自成系統，確是一部很好的數學啟蒙讀物。此書曾傳至朝鮮、日本，朝鮮有李朝世宗十五年（1433）的慶州府刻本，清順治十七年（1660）金州府尹金始振翻刻。清羅士琳諸人聞此書，遂請人於北京尋獲金刻本，道光十九年(1839)由阮元作序，在揚州刊刻，後來諸版皆依此。

卷首總括

卷首有《總括》：釋九數法，九歸除法……明開方法等18項。

《總括》為全書的預備知識，包括各種口訣，釋九數法，九歸除法……明開方法等共18項[3]。

1.釋九數法：列出九九表，一一如一，一二如二……九九八十一。

2.九歸除法：一歸如一，見於進成十，二一添作五，逢二進成十，三一三十一……九歸隨身下，逢九進成十。

3.斤下留法：將兩變斤，以如下口訣代替除16：一退六二五0.0625），二留一二五（0.125）……十五留九三七五（0.9375）。

4.明縱橫訣：布列算籌規則：一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當，滿六已上，五在上方，六不聚積，五不單張……若明此訣，可習九章。

5.大數之類：一十百千萬億兆京郂……萬萬不可思議曰無量數。

6.小數之類：分厘毫絲忽微纖沙埃塵……萬萬空曰虛，萬萬清曰空，萬萬凈曰清……

7.求諸率類

8.斛鬥起率

9.斤稱起率

10.端匹起率

11.田畝起率：田起於忽（闊一寸長六寸），十忽=一絲，十絲=一毫，十毫=一厘，十厘=一分，十分=一畝，百畝=傾，三百步=一里。（畝法：闊一步，長二百四十步。）

12.古法圓率：周三徑一，π=3。

13.劉徽新術：周一百五十七尺，直徑七尺。（）

14.沖之密率:周二十二尺，直徑七尺。（）

15.明異名訣

16.明正負術

17.明乘除段

18.明開方法

上卷上卷八門113問：

1.縱橫因法門8問，

2.身外加法門10問，

3.留頭乘法門20問，

4.身外減法門10問，

5.九歸除法門29問，

6.異乘同除門8問，

7.庫務解稅門11問，

8.折變互差門15問。

中卷中卷七門七十一問：

1.田畝形段門16問，

2.倉屯積粟門9問，

3.雙據互換門6問，

4.求差分和門9問，

5.差分均配門10問，

6.商功修築門13問，

7.貴賤反率門8問。

下卷下卷五門七十五問：

1.之分齊同門9問，

2.堆積還源門14問，

3.盈不足術門9問，

4.方程正負門9問，

5.開方釋鎖門34問。

朱世傑（1249年－1314年），字漢卿，號松庭，漢族，燕山（今北京）人氏，元代數學家、教育家，畢生從事數學教育。朱世傑在當時天元術的基礎上發展出“四元術”，也就是列出四元高次多項式方程，以及消元求解的方法。此外他還創造出“垛積法”，即高階等差數列的求和方法，與“招差術”，即高次內插法。主要著作是《算學啟蒙》與《四元玉鑒》。

朱世傑“以數學名家周遊湖海二十餘年”，“踵門而學者雲集”(莫若、祖頤：《四元玉鑒》後序）。朱世傑數學代表作有《算學啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）。

《算學啟蒙》是一部通俗數學名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數學的發展。《四元玉鑒》則是中國宋元數學高峰的又一個標誌，其中最傑出的數學創造有“四元術”（多元高次方程列式與消元解法）、“垛積術”（高階等差數列求和）與“招差術”（高次內插法）。

宋元時期，中國數學鼎盛時期中傑出的數學家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、楊﹝輝﹞、朱﹝世傑﹞四大家”，朱世傑就是其中之一。朱世傑是一位平民數學家和數學教育家。朱世傑平生勤力研習《九章算術》，旁通其它各種演演算法，成為元代著名數學家。

上卷和中卷的內容大體上是傳統《九章算術》的內容。下卷則綜合了宋朝數學發展的成果如堆垛術，天元術

• 堆垛術

下卷中的堆積還原門闡述級數的求和問題。

• 堆積還原門第一問：今有筊草底子每面五十四束，問積幾何？

答曰：一千四百八十五束。

術曰：置五十四束下位，添一束以乘上位得二千九百七十，半之，得積，合問。

• 54×（54+1）/2=2970/2=1485

• 天元術

朱世傑在《算學啟蒙》下卷中用相當篇幅敘述天元術。

例：《開放釋鎖》第八問：今有直田八畝五分五厘，只雲長平（寬）和得九十二步，問長平各幾何？

• 答曰：平三十八步，長五十四步[4]。

《算學啟蒙》的原始版本，今已失傳。現存版本中最早的當推日本筑波大學所藏15世紀朝鮮李世宗時期的銅活字本。清順治十七年通政議大夫守全南道觀察使兼兵馬水軍節度使巡查使全州府尹金始振重刊《算學啟蒙》。道光十九年，數學家羅士琳從京城琉璃廠書肆購得朝鮮金始振重刊本，在揚州刊行。同治十八年，光緒八年，十年，二十二年，二十二年，二十四年都有刊本。中國國家圖書館藏有清道光十九年羅士琳刊本，光緒二十四年上海算學書局刊本《算學啟蒙述義》三卷。