凸性

科

切線角講，凸弧切線曲線弧，凸弧切線曲線弧。

割線角度講，如果連續曲線y=f(x)在區間(a，b)對應的曲線弧上任意兩點的割線線段都在該兩點間的曲線弧之上，則稱該段曲線弧是下凸的，並稱函數y=f(x)在區間(a，b)上是下凸的(或上凹的，即曲線開口向上)。如果連續曲線y=f(x)在區間(a，b)對應的曲線弧上任意兩點的割線線段都在該兩點間的曲線弧之下，則稱該段曲線弧是上凸的，並稱函數y=f(x)在區間(a，b)上是上凸的(或下凹的，即曲線開口向下)。

從導數角度講，設y=f(x)在(a，b)內具有二階導數，如果在(a，b)內f''(x)>o，則y=f(x)在(a，b)內為下凸；如果在(a，b)內f''(x)。

在研究函數圖形的變化時，僅僅研究單調性並不能完全反映它的變化規律。如圖1，函數雖然在區間[a，b]內單調遞增，但卻有不同的彎曲狀況，從左到右，曲線先是向下凹，通過P點后改變了彎曲方向，曲線向上凸。因此，在研究函數的圖形時，除了研究其單調性，對於它的彎曲方向及彎曲方向的改變點的研究也是很有必要的。從圖1明顯可知，曲線向下凹時，彎曲的弧段位於這弧段上任意一點的切線的上方，曲線向上凸時，彎曲的弧段位於這弧段上任意一點的切線的下方。

凹函數和凸函數

如果在某區間I內，連續函數 的曲線弧位於其上任意一點切線的上方(下方)，則稱曲線在這個區間內是凹的(凸的)，區間I稱為函數 的凹區間(凸區間)，記為 ，函數 則為區間I上的凹函數(凸函數)。

凸性的定義

連續曲線上，凹曲線和凸曲線的分界點稱為曲線的拐點。

曲線的凹或凸統稱為曲線的凸性，顯然，只要知道了函數的凸性即找到函數的凹凸區間，拐點就顯而易得。

設函數 在區間[a，b]上連續，在(a，b)內具有二階導數，則：

①如果 時，恆有 ，則曲線 在[a，b]內是凹的；

②如果 時，恆有 ，則曲線 在[a，b]內是凸的。

因為 時， 單調增加，即斜率 由小變大，曲線是凹的，如圖2、3所示；反之，如果 時， 單調減少，即斜率 由大變小，曲線是凸的，如圖4、5所示。

拐點既然是曲線上凸凹的分界點，故在拐點的左右鄰域 必然異號，而拐點處的二階導數 或 不存在，因此在確定拐點時，首先找到 或 不存在的點，以這些點將定義域劃分為若干個子區間，然後檢驗這些點左右鄰域 的符號，若異號則為拐點，否則不是拐點。

例1 求曲線 的凹凸區間與拐點。 

解: 易知，定義域為(-∞，+∞)，求導數得

令 ，得 ，且二階導數沒有不存在的點。

以 為分界點，將定義域劃分為3個子區間，並討論函數在各子區間上的凸性及拐點，見表1。

從表1可知，該曲線的凹區間為(一∞，0)，(1，+∞)，凸區間為(0，1)；曲線的拐點為(0，1)和(1，0)。

例2 求曲線 的凹凸區間及拐點。

解： 易知，定義域為(-∞，+∞)，求導數得

由二階導數可知，無 的點；當 時， 不存在．見表2。

由表2知，曲線的凹區間為（2，+∞），凸區間為（－∞，2）；拐點為（2，0）。