微分法

對函數局部變化率的線性描述

在數學中,微分是對函數的局部變化率的一種線性描述。微分可以近似地描述當函數自變數的取值作足夠小的改變時,函數的值是怎樣改變的。當某些函數f的自變數x有一個微小的改變h時,函數的變化可以分解為兩個部分。一個部分是線性部分,另一部分是比h更高階的無窮小,這種表示方法成為微分法。

基本簡介


微分法
微分法
微分法
微分法
在古典的微積分學中,微分被定義為變化量的線性部分,在現代的定義中,微分被定義為將自變數的改變數 映射到變化量的線性部分的線性映射。這個映射也被稱為切映射。給定的函數在一點的微分如果存在,就一定是唯一的。
微分法
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微分法
微分法
微分法
在數學中,微分是對函數的局部變化率的一種線性描 述。微分可以近似地描述當函數自變數的取值作足夠小的改變時,函數的值是怎樣改變的。當某些函數 的自變數 有一個微小的改變 時,函數的變化可以分解為兩個部分。一個部分是線性部分:在一維情況下,它正比於自變數的變化量,可以表示成 和一個與 無關,只與函數 及 有關的量的乘積;在更廣泛的情況下,它是一個線性映射作用在 上的值。另一部分是比 更高階的無窮小,也就是說除以 后仍然會趨於零。當改變數 很小時,第二部分可以忽略不計,函數的變化量約等於第一部分,也就是函數在 處的 微分,記作 或。如果一個函數在某處具有以上的性質,就稱此函數在該點可微。
不是所有的函數的變化量都可以分為以上提到的兩個部分。若函數在某一點無法做到可微,便稱函數在該點不可微。

概念定義


微分法定義如下:
微分法
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微分法
微分法
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微分法
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微分法
微分法
設函數 在某區間 內有定義。對於 那一點,當 變動到附近的(也在此區間內)時,如果函數的增量 可表示為(其中 是不依賴於 的常數),而 是比高階的無窮小,那麼稱函數 在點 是可微的,且 稱作函數在點 相應於自變數增量 的微分,記作,即,是 的線性主部。
微分法
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微分法
微分法
微分法
微分法
微分法
微分法
通常把自變數 的增量 稱為自變數的微分,記作,即。
圖1.微分法
圖1.微分法
微分法
微分法
微分法
微分法
(函數在一點的微分,其中紅線部分是微分量,而加上灰線部分后是實際的改變數。)

幾何意義


微分法
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微分法
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微分法
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微分法
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微分法
微分法
微分法
微分法
微分法
微分法
微分法
設 是曲線 上的點 在橫坐標上的增量,是曲線在點 對應 在縱坐標上的增量,是曲線在點 的切線對應 在縱坐標上的增量。當 很小時,比 要小得多(高階無窮小),因此在點 附近,我們可以用切線段來近似代替曲線段。

基本法則


微分法
微分法
微分法
微分法
和求導一樣,微分有類似的法則,例如,如果設函數、可微,那麼:
微分法
微分法
1)
微分法
微分法
2)
微分法
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3) ,
微分法
微分法
微分法
微分法
4)若函數 可是,那麼。

微分形式


微分法
微分法
微分法
微分法
微分法
微分法
微分法
微分法
如果說微分是導數的一種推廣,那麼微分形式則是對於微分函數的再推廣。微分函數對每個點 給出一個近似描述函數性質的線性映射,而微分形式對區域 內地每一點給出一個從該點的切空間映射到值域的斜對稱形式: 。在坐標記法下,可以寫成:
微分法
微分法
微分法
微分法
微分法
微分法
微分法
微分法
微分法
微分法
微分法
微分法
微分法
微分法
其中的 是 -射影運算元,也就是說將一個向量 射到它的第 個分量 的映射。而 是滿足:
微分法
微分法
的k-形式。
微分法
微分法
微分法
微分法
微分法
微分法
微分法
微分法
特別地,當 是一個從 映射到 的函數時,可以將 寫作:
微分法
微分法
正是上面公式的一個特例。