微分法

在古典的微積分學中，微分被定義為變化量的線性部分，在現代的定義中，微分被定義為將自變數的改變數 映射到變化量的線性部分的線性映射。這個映射也被稱為切映射。給定的函數在一點的微分如果存在，就一定是唯一的。

在數學中，微分是對函數的局部變化率的一種線性描 述。微分可以近似地描述當函數自變數的取值作足夠小的改變時，函數的值是怎樣改變的。當某些函數 的自變數 有一個微小的改變 時，函數的變化可以分解為兩個部分。一個部分是線性部分：在一維情況下，它正比於自變數的變化量，可以表示成 和一個與 無關，只與函數 及 有關的量的乘積；在更廣泛的情況下，它是一個線性映射作用在 上的值。另一部分是比 更高階的無窮小，也就是說除以 后仍然會趨於零。當改變數 很小時，第二部分可以忽略不計，函數的變化量約等於第一部分，也就是函數在 處的 微分，記作 或。如果一個函數在某處具有以上的性質，就稱此函數在該點可微。

不是所有的函數的變化量都可以分為以上提到的兩個部分。若函數在某一點無法做到可微，便稱函數在該點不可微。

微分法定義如下：

設函數 在某區間 內有定義。對於 那一點，當 變動到附近的（也在此區間內）時，如果函數的增量 可表示為（其中 是不依賴於 的常數），而 是比高階的無窮小，那麼稱函數 在點 是可微的，且 稱作函數在點 相應於自變數增量 的微分，記作，即，是 的線性主部。

通常把自變數 的增量 稱為自變數的微分，記作，即。

（函數在一點的微分，其中紅線部分是微分量，而加上灰線部分后是實際的改變數。）

設 是曲線 上的點 在橫坐標上的增量，是曲線在點 對應 在縱坐標上的增量，是曲線在點 的切線對應 在縱坐標上的增量。當 很小時，比 要小得多(高階無窮小)，因此在點 附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。

和求導一樣，微分有類似的法則，例如，如果設函數、可微，那麼：

1)

2）

3） ，

4）若函數 可是，那麼。

如果說微分是導數的一種推廣，那麼微分形式則是對於微分函數的再推廣。微分函數對每個點 給出一個近似描述函數性質的線性映射，而微分形式對區域 內地每一點給出一個從該點的切空間映射到值域的斜對稱形式： 。在坐標記法下，可以寫成：

其中的 是 -射影運算元，也就是說將一個向量 射到它的第 個分量 的映射。而 是滿足：

的k-形式。

特別地，當 是一個從 映射到 的函數時，可以將 寫作：

正是上面公式的一個特例。