沃爾什

沃爾什（Walsh，Joseph Leonard，1895.9.21-1973.12.10），美國數 學家。

1931年，另一個美國數學家R．E．A．C．Paley提出沃爾什函數的全部各種定義，他確定沃爾什函數為Rademacher函數的有限乘積，並且由此得到一個形式不同的沃爾什函數。由於指標是是用二進位形式表示的，所以，稱此函數為二進位順序的沃爾什函數或稱為Walsh-Paley函數。

1964年，德國數學家H．F．Harmuth指出：沃爾什函數是在正交區間內按照變號數是，給出遞歸形式的定義，所以，稱此函數為列率(sequency)順序沃爾什函數。又由於波蘭數學家S．Kaczmarz的重要研究，所以，此函數被稱為Walsh-Kaczmarz函數。

Paley證明了Walsh-Paley函數系等同到Walsh-Kaczmarz函數系。到了1958年和1967年，S．Tani和H．Pichler首先給出Walsh-Paley函數系映射到Walsh-Kaczmarz函數系的證明。1973年，K．Hermann對逆映射進行了詳細的論述。

英國數學家J．J．Sylvester在1867年提出了關於矩陣的一個古老的研究結果。1893年，法國數學家M．J．Hadamard將此結果加以推廣，而且矩陣元素僅取+1，-1兩值，這就是著名的Hadamard矩陣。在特殊情況下，此矩陣直接引出沃爾什函數。由於在運算中，利用了Kronecker乘積運演演算法則，因此，Hadamard矩陣也稱為Kronecker矩陣，或稱為Kroneeker順序WalshHadamard矩陣。在1933年，Paley曾對此矩陣與二進位順序沃爾什函數之間的某些關係進行了討論。

到了60年代，特別在最近十幾年來，沃爾什函數的理論和應用上，引起了人們越來越多的興趣。在1970年前後，開始了許多深入和廣泛的研究工作。1970年3—4月間，在美國海軍研究實驗室第一次召開了國際性的沃爾什函數理論和應用的討論會，並發表了第一批研究工作的報告。一直到1974年，每年國際上都舉行了有關沃爾什函數的理論及應用的各種討論會，並且發表了論文集。

沃爾什函數是由周期的正交方波函數所組成的集合。這些函數的跳躍不連續點至多是可數無窮多個，而且這些函數在正交區間內分段取常數值。沃爾什函數在定義範圍內僅取+1和-1兩值。

沃爾什函數系是非正弦函數系，但它有與三角函數系相類似的性質，沃爾什函數也分為奇函數和偶函數。Harmuth提出相應於正、餘弦函數的是“sal”和“cal”，它也有類似於Fourier級數和Fourier變換的性質，等等。

在沃爾什函數的理論研究工作中，人們發現沃爾什函數具有正、餘弦函數所不具備的特性。例如，兩個正、餘弦函數之積是兩個正、餘弦函數之和，而兩個沃爾什函數之積卻只用一個沃爾什函數來表示，這在應用上有很大優越性。