攝動方法

攝動方法（perturbation method）是把系統視為理想模型的參數或結構作了微小擾動的結果來研究其運動過程的數學方法。這種方法最早應用於天體力學，用來計算小天體對大天體運動的影響，後來廣泛應用於物理學和力學的理論研究。攝動方法作為一般的數學方法，也是控制理論研究中的一種工具。攝動方法的基本思路是：如果一個系統Sε中包含有一個難以精確確定或作緩慢變化的參數ε，就可以令 ε=0，使系統Sε退化為s0，而把Sε看作是s0受到（由於ε≠0而引起的）攝動而形成的受擾系統。問題因而簡化成為在求解S0的基礎上來找出系統Sε的運動表達式。這樣做往往能達到簡化數學處理的目的。攝動方法所提供的系統Sε的運動Γε的形式是s的冪級數（可能包含負冪次項），級數的各項係數是有關變數（時間、狀態變數等）的函數。如果在這些變數的容許變化範圍內，當ε趨於零時，Γε的表達式一致地（均勻地）趨於S0的運動表達式Γ0,就稱表達式Γε為一致有效的。

正則攝動問題比較簡單，也易於處理。常用的方法有冪級數展開法（不包含ε的負冪次）、參數微分法、迭代法等。

奇異攝動問題則複雜得多，當ε 趨於0時系統Sε的行為或結構往往發生本質的或劇烈的改變，出現各種複雜的現象。奇異攝動問題的研究已發展為控制理論的一個重要分支。其中常用的方法有伸縮坐標法、匹配漸近展開法、複合展開法、參數變易法、平均法、多重尺度法等。

對於弱非線性系統，若把非線性部分看作是對線性部分的攝動，常能用攝動方法（這種情況常稱為小參數法）得到相當好的結果。奇異攝動理論與分岔理論、突變論等也有比較密切的關係。

研究天體在真實軌道上的坐標和在中間軌道上的坐標之差，這個差值稱為坐標攝動。在經典方法中，常把坐標攝動表示為某個小參量（例如攝動行星的質量）的冪級數，然後逐項進行計算。由於計算技術的發展，微分方程近似解法中皮卡迭代法正逐步代替原來的小參量冪級數展開方法。它的主要優點是有統一的迭代過程，使計算過程能高度自動化。

這是1858年恩克在研究彗星的運動時提出的，它討論坐標攝動在直角坐標系中的表示式，經常用於計算短周期彗星和月球火箭的軌道。這種方法的優點是：攝動方程的推導簡單，形式對稱，可以直接得到坐標，便於計算天體的歷表。它的缺點是：以直角坐標表示的攝動量難於顯示出攝動的幾何特性和力學含義；隨著時間跨度的增長，直接坐標的三個攝動量往往同時變大，以致不能把它們所服從的方程作線性化處理，否則就要多次更換零點。

自然天體一般總是圍繞著某個主天體運動，例如行星繞著太陽運動，衛星繞著行星運動。因此，球坐標或極坐標的攝動就有較明顯的幾何意義。克萊洛和拉普拉斯在研究彗星的運動和大行星運動理論時最早提出了球坐標攝動方法。後來，紐康對拉普拉斯方法作了改進，特別是在展開攝動函數時運用了算符運算，使展開過程不僅有簡潔的數學表示式，而且有規則的處理過程，便於以後在電子計算機上進行計算。紐康成功地運用這個方法研究了水星、金星、地球、火星四顆內行星以及天王星、海王星的運動，據此編成的內行星的歷表，一直是二十世紀以來編算天文年曆的基礎。希爾提出了一種以真近點角為引數的球坐標攝動法，它曾被成功地用於計算第一號小行星──穀神星的攝動。

1963年穆森提出了另一種計算坐標攝動的方法，用於計算天體坐標在向徑、速度和角動量三個方向上的攝動量。儘管這樣的分解不正交，但由於它有不少優點，如有較明顯的力學意義，推導方便，積分直接、運用算符運算、各階攝動方程具有統一而緊湊的形式，並便於計算自動化，現正用於建立新的大行星運動理論。

這是軌道要素作為基本變數的攝動方法。如果行星只受太陽的吸引，正如開普勒定律所描述的，它將沿著一個固定的橢圓運動，決定橢圓運動的六個軌道要素應是常數。若考慮到其他因素的影響，行星將偏離原來的橢圓，六個軌道要素就不再是常數，它們將遵循由常數變易法導出的規律而變化。在這種情況下，可得到一族橢圓，它們逐個地與真實軌道相切，在相切點，二者不僅有相同的坐標，而且有相同的速度；只是加速度彼此不同，一個是真實加速度，另一個是橢圓加速度，二者之差正是攝動力引起的攝動加速度。由於種攝動加速度的作用，天體在下一時刻將離開這個橢圓，走上鄰近的一個瞬時橢圓；相反，一旦攝動作用消失，天體將沿著消失點的瞬時橢圓一直運動下去。天體在太陽輻射壓攝動下的運動正是這樣：當輻射壓起作用時，天體的瞬時橢圓不斷變化；但當天體進入一個陽光照不到的陰影區時，輻射壓消失，天體就沿著入影點的瞬時橢圓運動下去，直到跑出這個影子為止。天體的真實軌道就是瞬時橢圓族的包絡線。與坐標攝動相比，橢圓軌道要素的變化一般要緩慢得多，因而便於處理。瞬時橢圓法最早是歐拉在十八世紀中葉研究木星與土星的相互攝動時提出的，後由拉格朗日加以改進。他根據常數變易法，利用拉格朗日括弧，嚴格地導出了描述橢圓軌道要素變化的攝動方程──拉格朗日方程。這種方法的應用十分廣泛，特別是被勒威耶成功地用來研究大行星的運動。

關於正則攝動問題有下面幾種常用的方法：

① 林斯泰特－龐加萊方法　它原用於天體力學。但這個方法對於消除一些問題中高階近似的強奇性是無效的。1949年，M.J.萊特希爾作了重要推廣，引進了自變數的非線性變換，求得了一系列物理問題的一致有效漸近解。

② 克雷洛夫-博戈柳博夫方法 由於取了函數的平均值，此法又稱平均法。

③ 調和均衡法

常微分方程奇異攝動問題主要是大參數問題。下面列舉兩種類型問題。

第一類，場函數和它的各階導數不是同量級量的問題。

第二類，在微分方程的係數中具有轉向點的奇點問題。

近十多年來，研究奇異攝動問題的數值方法也有了發展，根據奇異攝動問題的特點構造特殊的數值方法(有限差分方法和有限元方法) ，以便取得良好的數值結果。

中國力學工作者在對攝動方法的發展有開創性貢獻。錢偉長在1948年解圓板大撓度問題時，即提出稱為合成展開法的方法，郭永懷在1953年把由龐加萊和萊特希爾發展起來的方法推廣應用於邊界層效應的粘性流問題；錢學森1956年又深入闡述了這個方法的重要性，並稱之為PLK方法。

這是一種以分析力學為基礎的方法。其基本思想是：對變數進行一系列適當的正則變換，以求降低運動方程的階次，使新的方程具有較簡單的形式，例如得出一個描述等速直線運動或簡諧振動的方程，從而使問題得解。

十九世紀，德洛內從這個觀點出發建立了著名的德洛內月球運動理論。他首先將月球的攝動函數展開成四百多個三角項，然後進行一系列的正則變換，使每次變換都能消去其中的一項。他花了差不多二十年的時間，總共進行了上千次變換，找到了三個合適的角速度，將月球的軌道要素都表示成時間的三角多項式，而不包含任何長期項。德洛內的工作為天體力學中的變換理論奠定了基礎。這種方法是由一系列形式統一的循環過程組成的，因此非常便於用電子計算機進行計算。

德洛內之所以要進行那樣多的變換，是為了對攝動函數中的每一項都給以嚴格的數學處理。這在實用上是沒有必要的，某些高階項盡可以略去。以這種想法為指導，蔡佩爾在二十世紀初建立了蔡佩爾變換。他先把攝動函數中的角變數按它們變化快慢排隊，然後在一定精度範圍內尋找適當的變換，以便一次消去所有含快變數的項，得出一組平均化的方程，進而對新的方程重複類似的過程，直至消去全部角變數為止。與德洛內方法相比，這種方法的工作量小得多，因此，它一出現就被成功地用來研究小行星的運動。人造衛星上天后，它得到了更廣泛的應用。但是，蔡佩爾變換也有一些缺點，其中最突出的是：決定新舊變數轉換關係的母函數是混合型的，同時含有新舊兩種變數，使用頗為不便。為了克服這一缺點，堀源一郎在二十世紀六十年代提出了一種以李變換為基礎的理論──堀源-李變換。其優點是：不僅新舊變數之間的變換具有顯函數的形式，同時其結果在正則變換之下保持不變，因此它與用哪一組正則變數進行計算無關，而具有通用性。電子計算機的創製和發展不僅大大提高數值計算的精度和速度，而且代替人們完成大量機械的重複的推導，今天已廣泛用於攝動理論研究。德普里特、亨拉德、羅姆利用電子計算機編製了一個分析月球歷表。單就計算太陽主要攝動項而言，攝動函數就有近3,000項，並通過李變換，得到了近50,000項月球坐標表示式。其規模之大，遠非德洛內理論所能相比。

影響天體運動的攝動因素多種多樣：有萬有引力引起的保守力，有介質阻尼引起的耗散力，有連續作用的力，也有諸如輻射壓引起的間斷力等。影響大行星動的主要攝動因素是行星間的相互吸引；地球大氣的阻尼使衛星隕落於地面；太陽輻射壓決定著彗尾的形狀；潮汐摩擦則是衛星軌道演化的主要動力。只有準確地掌握各種攝動因素，才能準確無誤地計算天體的運動，解釋各種壯麗的天象。反之，通過精密的觀測和準確掌握天體的運動規律，就可以根據攝動理論的分析，弄清天體周圍的力學環境，如測定攝動天體的質量、主天體的學扁率和彈性模量、大氣密度和各種引力場參數等等，至還能預告一些未知天體的存在與行跡。因此，攝動理論不僅有豐富的理論內容，也有較高的實用價值。