拋物線坐標系
拋物線坐標系
拋物線坐標系（英語：Parabolic coordinates）是一種二維正交坐標系，兩個坐標的等值曲線都是共焦的拋物線。將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系。
實際上，拋物線坐標可以應用在許多物理問題。例如，斯塔克效應（Stark effect），物體邊緣的位勢論，以及拉普拉斯-龍格-冷次向量的保守性。
直角坐標 可以用二維拋物線坐標 表示為
其中， 。
反算回來，二維拋物線坐標 可以用直角坐標 表示為
坐標為常數的曲線形成共焦的，凹性向上的（往 軸）拋物線：
而坐標為常數的曲線形成共焦的，凹性向下的（往軸）拋物線：
這些拋物線的焦點的位置都在原點。
拋物線坐標 的標度因子相等：
因此，面積的無窮小元素是
拉普拉斯運算元是
其它微分運算元，像 都可以用 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內的一般公式。
將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系，又稱為 旋轉拋物線坐標系。將對稱軸與 z-軸排列成同直線；而拋物線坐標系的共焦點與直角坐標系的原點同地點。直角坐標 可以用三維拋物線坐標表示為
其中， ，方位角定義為
反算回來，三維拋物線坐標 可以用直角坐標 表示為
每一個-坐標曲面都是共焦的，凹性向上的（往 軸）拋物曲面
而每一個坐標曲面都是共焦的，凹性向下的（往軸）拋物曲面：
這些拋物曲面的焦點的位置都在原點。
三維標度因子為：我們可以觀察出，標度因子與二維標度因子相同。因此，體積的無窮小元素是
拉普拉斯運算元是其它微分運算元，像，都可以用坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內的一般公式。