凝聚層

在數學中，尤其是代數幾何與複流形理論里，凝聚層是一類特別容易處理的層。凝聚層的定義指涉到一個環層（例如一個概形的結構層、複流形上的全純函數層或D-模），此環層蘊藏了所論空間的幾何性質。相關的概念還有擬凝聚層與有限展示層。代數幾何與復解析幾何里的許多性質與定理都以凝聚層及其上同調錶述。

凝聚層可被視作向量叢截面層的推廣。它們構成的範疇在取核、上核、有限直和等操作下封閉。此外，若底空間滿足合宜的緊緻條件，則凝聚性在底空間的映射下保持不變，且具有有限維的層上同調群。交換代數里的一些定理也能應用於凝聚層，如中山正引理。

一個凝聚層是賦環空間上的一個-模，滿足下述性質：

在上是有限型的，即：對任一點，存在其鄰域使得可由有限多個截面生成（換言之，存在正合序列）。

對任意開集，任意及任意-模的態射，其核是有限型的。

環層是凝聚層當且僅當它自身作為一個-模是個凝聚層。

凝聚層必定是有限展示的：即對任一點都存在其開鄰域U、正整數m,n以及一個正合序列：

反之則不然，除非要求是凝聚環層。

擬凝聚層的定義更弱：我們僅要求對任一點都存在開鄰域U，索引集I,J（可能是無限集）及一個正合序列：

對一個仿射簇X=Spec(R)，給出從擬凝聚層到R-模的範疇等價；若R是諾特環，則凝聚層恰對應至有限生成的R-模。

凝聚層的概念較局部自由層（換言之，向量叢的截面層）廣，但仍然很容易操作，這在考慮核與上核時特別有利，因為局部自由層在這些操作下並不封閉。形式地說：給定一個短正合序列，只要其中任兩個層是凝聚層，則令一個也必然是凝聚層；在-模的範疇里，凝聚層是滿足上述條件並包含的最小滿範疇。因此就同調代數的觀點看，凝聚層是最自然的範疇之一。