向量叢

數學上，向量叢是一個幾何構造，對於拓撲空間(或流形,或代數簇)的每一點用互相兼容的方式附上一個向量空間，所用這些向量空間"粘起來"就構成了一個新的拓撲空間(或流形，或代數簇)。一個典型的例子是流形的切叢:對流形的每一點附上流形在該點的切空間。或者考慮一個平面上的光滑曲線，然後在曲線的每一點附上和曲線垂直的直線；這就是曲線的"法叢"。

這個條目主要處理有限維纖維的實向量叢。復向量叢也在很多地方有用；他們可以視為有附加結構的實向量叢的特例。

向量叢是更一般的纖維叢的特例。

假設E和M是兩個微分流形，其中M是m維流形。是M上的一組坐標卡（即U_i 同胚於m維歐氏空間的某個開集）。假設它們之間有可微映射, 滿足以下兩個條件，就稱E為M上的向量叢。

（1）局部平庸條件：

，即在M的每個局部鄰域上，E可看成是某個n維歐氏空間與底流形的開集的笛卡爾積--從而E局部上是一個的歐氏空間的開集。特別地，對每一點，p在下的原像 是一個n維歐氏空間，

（2）相容條件：在非空交集上，存在向量空間的同構映射:， .

特別地，如果非空，那麼複合映射（這裡1是恆同映射）。

n稱為向量叢E的秩。秩1的向量叢稱為線叢。

稱為轉移函數（也稱轉換函數，過渡函數）。它反映了向量叢整體非平庸性，體現了向量叢扭曲的程度。

向量叢 的截面，就是指一個光滑映射,使得（恆同映射）。由於M上每個點在下的像都是對應的n維向量空間中的一個向量，所以截面整體上就定義了M上的一個光滑向量場。因此可以認為向量場和向量叢的截面是同一件事。

有了截面之後，我們就可以看出向量叢整體是否拓撲平庸，也就是看出向量叢的扭曲程度。

比如帶邊莫比烏斯帶就是圓圈上的非平庸向量叢的截面（即某個光滑向量場）。

給定兩個向量叢，和，我們可以構造出新的向量叢:

(1)E的對偶叢

(2)直和叢

(3)張量叢

(4)對稱積

(5)外積

等等

此外，流形M上自帶了切叢和餘切叢。這是微分幾何中最重要的兩個向量叢。

線叢也是一種特殊的向量叢，它和自身的對偶張量一下變成了平凡叢。全體線叢在張量下構成一個群，稱為Picard群。線叢也稱為可逆叢。