微分幾何學

應用微分學來研究三維歐幾里得空間中的曲線、曲面等圖形性質的數學分支。差不多與微積分學同時起源於17世紀。單變數函數的幾何形象是一條曲線，函數的導數就是曲線切線的斜率。函數的積分在幾何上則可理解為一曲線下的面積等等。這種把微積分應用於曲線、曲面的研究，實質上就是微分幾何學的開端。L.歐拉、G.蒙日、J.L.拉格朗日以及A.-L.柯西等數學家都曾為微分幾何學的發展作出過重要貢獻。與此同時，曲面內蘊幾何等嶄新的思想也在不斷地產生並積累著。在此基礎上，C.F.高斯奠定了曲面論基礎，並使微分幾何學成為一門新的數學分支。按F.克萊因變換群幾何的分類方法來看，微分幾何學應屬於運動群，所以也稱為運動幾何學或初等微分幾何學。

微分幾何學的研究對數學其他分支以及力學、物理學、工程學等的影響是不可估量的。如：偽球面上的幾何與非歐幾何有密切關係；測地線和力學、變分學、拓撲學等有著深刻的聯繫，是內容豐富的研究課題。這方面有以J.阿達馬、H.龐加萊等人為首的優異研究。極小曲面是和複變函數論、變分學、拓撲學關係極為深刻的研究領域，K.魏爾斯特拉斯、J.道格拉斯等人作出過卓越貢獻。

微分幾何學的研究工具大部分是微積分學。力學、物理學、天文學以及技術和工業的日益增長的要求則是微分幾何學發展的重要因素。儘管微分幾何學主要研究三維歐幾里得空間中的曲線、曲面的局部性質，但它形成了現代微分幾何學的基礎則是毋庸置疑的。因為依賴於圖形的直觀性及由它進行類推的方法，即使在今天也未失其重要性。

微分幾何學的產生和發展是和數學分析密切相連的。在這方面第一個做出貢獻的是瑞士數學家歐拉。1736年他首先引進了平面曲線的內在坐標這一概念，即以曲線弧長這一幾何量作為曲線上點的坐標，從而開始了曲線的內在幾何的研究。

十八世紀初，法國數學家蒙日首先把微積分應用到曲線和曲面的研究中去，並於1807年出版了它的《分析在幾何學上的應用》一書，這是微分幾何最早的一本著作。在這些研究中，可以看到力學、物理學與工業的日益增長的要求是促進微分幾何發展的因素。

1827年，高斯發表了《關於曲面的一般研究》的著作，這在微分幾何的歷史上有重大的意義，它的理論奠定了現代形式曲面論的基礎。微分幾何發展經歷了150年之後，高斯抓住了微分幾何中最重要的概念和帶根本性的內容，建立了曲面的內在幾何學。其主要思想是強調了曲面上只依賴於第一基本形式的一些性質，例如曲面上曲面的長度、兩條曲線的夾角、曲面上的一區域的面積、測地線、測地線曲率和總曲率等等。他的理論奠定了近代形式曲面論的基礎。

1872年克萊因在德國埃爾朗根大學作就職演講時，闡述了《埃爾朗根綱領》，用變換群對已有的幾何學進行了分類。在《埃爾朗根綱領》發表后的半個世紀內，它成了幾何學的指導原理，推動了幾何學的發展，導致了射影微分幾何、仿射微分幾何、共形微分幾何的建立。特別是射影微分幾何起始於1878年阿爾方的學位論文，後來1906年起經以威爾辛斯基為代表的美國學派所發展，1916年起又經以富比尼為首的義大利學派所發展。

隨後，由於黎曼幾何的發展和愛因斯坦廣義相對論的建立，微分幾何在黎曼幾何學和廣義相對論中的得到了廣泛的應用，逐漸在數學中成為獨具特色、應用廣泛的獨立學科。

古典的局部微分幾何是研究三維歐氏空間E3的曲線和曲面在一點鄰近的性質，它的發展與分析學的發展有著不可分割的聯繫。微分幾何起源於17世紀發現微積分之時，函數與函數的導數的概念實質上等同於曲線與曲線的切線的斜率，函數的積分在幾何上則可解釋為一曲線下的面積。當時，平面曲線、空間曲線及曲面的幾何也可作為微積分的應用來了解。

在這方面第一個作出貢獻的是瑞士數學家L.歐拉。1736年他首先引進了平面曲線的內在坐標這一概念，即以曲線弧長這一幾何量作為曲線上點的坐標，從而開始了曲線的內在幾何的研究。歐拉將曲率描述為曲線的切線方向和一固定方向的交角相對於弧長的變化率。在曲面論方面，他有重要的貢獻，例如引進了曲面上的法曲率、總曲率、關於法曲率的歐拉公式及球面映射等。測地線是平面上的直線在曲面上的推廣，歐拉和約翰第一·伯努利及丹尼爾第一·伯努利一起最早地把測地線描述為某些微分方程的解。1736年，歐拉證明了在無外力作用之下，一個質點如約束在一曲面上運動，則它必定是沿測地線運動。另外，值得指出的是法國數學家G.蒙日及其學派，他們對曲面論的建立也很有貢獻，蒙日在1807年出版的書《分析學在幾何中的應用》是關於曲線和曲面理論的第一部獨立的著作。他的工作中反映出他對微分方程的興趣。在這些數學家的研究中，可以看到力學、物理學與天文學以及技術與工業的日益增長的要求是促使微分幾何發展的因素。

1847年弗雷內得出了曲線的基本微分方程，亦即通稱的弗雷內公式。後來,（J.-）G.達布創造了空間曲線的活動標架概念，完整地建立起曲線理論。

三維歐氏空間

在三維歐氏空間E3中，與曲線相比，曲面有著重要得多的性質。設x1，x2，x3為E3的笛氏坐標，則曲面S的參數方程為(1)曲面S的幾何性質完全由被稱為曲面的第一、第二基本形式（見曲面）的兩個二次微分形式所決定。

高斯

1827年德國數學家C.F.高斯的論文《彎曲曲面的一般研究》在微分幾何學的歷史上有重大的意義。微分幾何發展經歷了150年之後，高斯抓住了微分幾何中最重要的概念和帶有根本性的內容，他在論文中建立了曲面的內在幾何學，其主要思想是強調了曲面上只依賴於第一基本形式的一些性質，例如曲面上曲線的長度、兩條曲線的夾角、曲面上一區域的面積、測地線、測地曲率和總曲率等等，稱之為曲面的內在性質。

高斯之前的幾何學家，在研究曲面時總是把曲面與外圍空間E3相聯繫，找出曲面上一點的主方向，再計算兩曲率線的法曲率的乘積，這是歐拉的研究。高斯證明了由曲面的第一基本形式就確定了曲面的總曲率，這就是高斯方程，所以總曲率通常也稱為高斯曲率，這是高斯的著名發現，被稱為“極妙定理”。他說：“如果一個彎曲的曲面可展開到任何另外的曲面上去，則每點的曲率是保持不變的。”這裡,“可展”表示了映射是1-1（一一）且保持距離的。高斯建立的內在幾何學有著深遠的影響，是在微分幾何上的一關鍵而重大的突破，但當時並未被人們所認識。

黎曼

更重要的發展屬於德國數學家（G.F.）B.黎曼。1854年他在格丁根大學發表了題為《論作為幾何學基礎的假設》的就職演講，黎曼將曲面本身看成一個獨立的幾何實體，而不是把它僅僅看作歐氏空間中的一個幾何實體。他發展了空間的概念，首先提出了n維流形（當時稱為多重廣延量）的概念，其中的點用n個實數(x1,x2,…,xn)作為坐標來描述，他定義了流形上無限鄰近兩點(xi)與(xi+dxi)(i=1,2,…,n)的距離，(2)並以此作為幾何學的出發點。後來稱(2)為黎曼度量，這裡(gij)是正定對稱陣。黎曼認識到度量(2)是加到流形上去的一個結構，因此，同一流形可以有眾多的黎曼度量。黎曼以前的幾何學家只知道外圍空間E3的度量賦予曲面S以誘導度量，(3)即第一基本形式，而並未認識到曲面S還可以獨立於E3而定義，可以獨立地賦予度量結構。黎曼意識到這件事是非凡的重要，他把誘導度量與獨立的黎曼度量兩者分開來，從而開創了以(2)為出發點的黎曼幾何。這種幾何以種種非歐幾何作為其特例。例如，這時可以把（α是常數）(4)作為兩個無限鄰近點的距離，當α>0時，就是球面幾何或橢圓幾何（又稱為正常曲率空間的幾何）,α=0時就是歐氏幾何，α<0時就是羅巴切夫斯基幾何或雙曲幾何，又稱負常曲率空間的幾何。

黎曼幾何中的一個基本問題是微分形式的等價性問題。在兩個不同坐標系x1，x2，…，xn與x1'，x2'，…，xn'中，給定兩個二次微分形式與，求存在坐標變(i=1,2,…,n)將一個微分形式變到另一個的條件，這個問題1869年由E.B.克里斯托費爾與R.（O.S.）李普希茨解決。克里斯托費爾的解包含了以他的名字定名的記號，即第一類克里斯托費爾記號【jk,l】和第二類克里斯托費爾記號】：，(5)及協變微分(見黎曼幾何學)的概念。在此基礎上,1887～1896年間G.里奇發展了張量分析方法，這在廣義相對論中起了基本的作用。里奇和他的學生T.列維－齊維塔在研究報告《絕對微分法及其應用》(1901)中對里奇計演演算法作了詳細的綜述。

《埃爾朗根綱領》對微分幾何的影響比克里斯托費爾、李普希茨解決二次微分形式的相互轉換問題稍遲一些，1872年（C.）F.克萊因在德國埃爾朗根大學作就職演講時，闡述了《埃爾朗根綱領》，這就是把幾何學定義為研究變換群所作用的空間，例如歐氏空間具有剛體運動群，所研究的對象是在剛體運動群下不變的性質。射影空間具有射影變換群，仿射空間與共形空間分別具有仿射變換群與共形變換群等等。這樣就用變換群對已有的幾何學進行了分類。這些幾何學中所研究的對象是在相應變換群下不變的性質。這種用群論統一幾何學的思想把幾何學與李群結合起來了。在《埃爾朗根綱領》發表后的半個世紀內，它成了幾何學的指導原理，推動了幾何學的發展，導致了射影微分幾何、仿射微分幾何、共形微分幾何的建立。特別是射影微分幾何起始於1878年阿爾方的學位論文，後來1906年起為E.J.威爾辛斯基為代表的美國學派所發展，1916年起為以G.富比尼為首的義大利學派所發展。20世紀30年代起中國蘇步青及其學生們以及蘇聯С.∏.菲尼科夫等進一步發展了射影微分幾何。

另一方面，克萊因的《埃爾朗根綱領》與狹義相對論完美地相配合，狹義相對論中的一個原理是洛倫茨群下場方程的不變性，這導致了克萊因成為狹義相對論的最早支持者之一。洛倫茨結構在相對論中起了基本的作用。

當克萊因制定《埃爾朗根綱領》時，已觀察到黎曼幾何並不包括在內，因為一般的黎曼空間，除恆等變換外，並不含有其他等長變換。經過W.K.J.基靈,É.(-J.)嘉當的努力，使得李群成為微分幾何的有力工具，而李群本身也成為微分幾何的研究對象，它的推廣就是齊性流形即容有可遷變換群的微分流形，這就給出了埃爾朗根綱領中所設想的幾何空間的最一般形式。在齊性流形中，具有正定黎曼度量的齊性黎曼流形，特別是對稱空間，顯得特別重要。

黎曼幾何的建立對近代物理學產生了巨大的影響。黎曼對引力論很有興趣，曾對牛頓的引力論發生懷疑，牛頓的引力是一種超距作用，而黎曼認為引力作用應通過接觸來傳遞，但他並沒有把黎曼幾何用於引力論。50年後，愛因斯坦創立了新的引力理論──廣義相對論，黎曼幾何（嚴格地說是洛倫茨幾何，這時(2)中所定義的ds2是非正定的二次微分形式）及其運算方法（里奇計演演算法）成為廣義相對論有效的數學工具。愛因斯坦引進了約定求和這一很有用的符號。廣義相對論的產生對微分幾何的影響是令人震動的。當時黎曼幾何成為研究的中心課題，斯考頓、列維－齊維塔、É.嘉當及艾森哈特等人的關於黎曼幾何的權威著作幾乎都出現在1924～1926年期間。愛因斯坦在狹義相對論中，把時間與空間作為相關的量一起來考慮，構成了一個四重廣延量，這顯示了時空概念的一個根本性變化。這時，時空中兩點(xi),(xi+dxi)(i=1,2,3,4)的距離由非正定的二次形式(6)

所描述，其中x4=сt，с是光速,t是時間。這種具體形式是閔科夫斯基空間，或稱閔科夫斯基四維時空，簡稱四維時空，它是洛倫茨流形中的一個特例。廣義相對論採用的是洛倫茨流形，這時ds2是非正定的，它的特點是在任何一點的小鄰域中和閔科夫斯基時空性質相近似。引力論的基本問題是要說明質點在引力作用下的運動軌線問題，在廣義相對論中運動軌線為流形上類時（即“弧長”平方為負）的測地線，類時意味著質點的速度低於光速，測地線是變分(7)所得微分方程的解。

愛因斯坦的引力場方程是一個關於gij的二階偏微分方程(8)式中Rij稱為里奇張量，是由gij的一、二階導數構成的，其中所確定；Tij是描述物質分佈的能量動量張量。特別，真空中的引力場方程由Rij=0所表述。如果彎曲空間化為平直空間，則表示引力場不存在，這時質點作勻速運動。

愛因斯坦的廣義相對論的思想來自物理學的研究，但值得注意的是從歐幾里得幾何學到黎曼幾何學經歷了二千多年時間，而從閔科夫斯基時空到洛倫茨流形只經過十年時間，這是因為黎曼幾何學的張量分析已為此作了一切數學上的準備。愛因斯坦在建立廣義相對論的過程中得益於數學家M.格羅斯曼，在發展廣義相對論過程中他和É.嘉當進行了許多的討論，D.希爾伯特也參加建立場方程的研究。

把黎曼幾何應用於廣義相對論時，列維-齊維塔平行移動的概念具有相當的重要性。（C.H.）H.外爾在1918年的名著《時間，空間，物質》中引進了仿射聯絡的概念，它是黎曼流形中列維－齊維塔平行移動的推廣。在流形上可以用仿射聯絡作為出發點來定義平行移動和協變微分等結構,

公式這樣，仿射聯絡就不必從黎曼結構來得出。外爾所給出的聯絡是無撓率的（即對稱的）。流形上定義了仿射聯絡，就得到仿射聯絡流形。

É.嘉當在他的主要論文《仿射聯絡流形及廣義相對論理論》（1923～1924）中給出仿射聯絡的權威性論述，並將仿射聯絡這一概念推廣到有撓率的情況。文中主要說明為什麼愛因斯坦引力論是牛頓引力論的推廣，後來他更進一步建立了各種聯絡理論，例如射影聯絡、共形聯絡等。

黎曼幾何還有另外的推廣,P.芬斯勒以一般出發建立了一種度量的幾何學，F只是dxj的正齊二次函數而不必要求它為二次型，也就是說gij除依賴於x之外，還是dx的正齊0次函數。對這種空間也引進了聯絡、曲率等等概念，從而得到芬斯勒幾何。隨後，還有很多的推廣，得到的空間通稱為一般空間。

在古典的曲線論和曲面論中，人們所研究的問題已可分為兩種類型：局部問題與整體問題。曲線或曲面在一點充分小鄰近成立的性質是局部性質。例如，曲線在一點的切線、法平面、曲率、撓率，曲面的切平面、法線以及各種曲率的概念都是局部性質。整體性質則是考慮整個曲線或曲面上的性質，它與局部性質所得出的定理時常是極不相同的。例如，平面凸閉曲線成立四頂點定理，即它的曲率至少有四個極值點。又如，對任何曲面，局部來說，兩鄰近點之間有且僅有惟一的測地線弧相連結，但從整體來說，這個問題就相當複雜。例如，歐氏空間的測地線是直線，任意兩點之間有且只有一條直線段相連結，球面上的測地線是大圓弧，球面上任意兩點A、B(如果不是對頂點)，可有兩條測地線弧（優弧與劣弧）相連結，A、B是對頂點時，它們之間則有無限條測地線弧相連結。如果考慮閉測地線，則可看到歐氏空間沒有閉測地線，而球面上任何測地線（即大圓）都是閉的。至於一般曲面有可能存在閉測地線，也有可能不存在閉測地線，可有許多情況，討論閉測地線的存在性就是一個整體性質。

又如，歐氏空間的曲面由第一、第二基本形式所決定。如果兩個曲面小片S1，S2，它們的第一基本形式相同，第二基本形式不同，則稱S1與S2是互為變形的。三維歐氏空間的一小曲面片總有無窮個曲面與它相變形，然而這個性質整體上是不成立的，例如球面以及一般的凸閉曲面不存在與之變形的曲面，這稱為球面的剛性定理及凸閉曲面的剛性定理。討論小曲面片的變形問題是局部性質，討論曲面的變形問題則是整體性質。曲面上測地線弧的指標（它表示測地線弧的兩端固定時，使其長度得到縮短的變形的維數）是一個整體的不變數。

曲面的整體性質的一個重要結果是高斯-博內定理，它指明，在閉曲面S上，總曲率K的積除以2π就是曲面的歐拉等於1減去曲面上洞的個數，是個拓撲不變數，因而這個定理建立了曲面的微分幾何量與曲面的拓撲量之間的重要聯繫。

此外，希爾伯特還發現，雙曲平面（二維的雙曲幾何）不能在三維歐氏空間中完整地實現，儘管它在三維歐氏空間中局部地實現對於雙曲幾何（即羅巴切夫斯基幾何）的被承認起了重大的作用。

曲面和曲線的整體性質的研究激起了人們對整體微分幾何的巨大興趣。

現代微分幾何學所研究的對象是微分流形，其上還配有附加的結構。例如，微分流形上引進黎曼度量、洛倫茨度量、辛尺度這些結構后，就分別成為黎曼流形、洛倫茨流形和辛流形，相應地也就豐富了幾何內容。

外微分形式、德·拉姆定理與霍奇定理微分流形上的外微分形式是一個微分幾何量，對它可進行外微分運算，這在幾何上十分重要（見外微分形式）。外微分形式實際上是多重積分的積分元。一個外微分形式的外微分如等於零，則稱它為閉形式，微分流形上r次閉形式全體構成一個線性空間。一個r次外微分形式如果是另一個(r-1)次外微分形式的外微分，則稱之為正合形式。正合形式是閉形式，它所構成的線性空間是閉形式所構成的線性空間的子空間。閉形式可以劃分為一些類，稱為上同調類，兩個r次閉形式當且僅當它們之差是一個正合形式時屬於同一個上同調類。這些上同調類全體構成一個線性空間──上同調空間Hr。以瑞士數學家德·拉姆而命名的著名定理說明：對於緊緻流形，上同調類空間Hr必是有限維的，並且維數恰等於微分流形上第r個貝蒂數。貝蒂數是流形的拓撲不變數，它描述流形上有關連通的性質。在流形上引進了黎曼度量后，霍奇引進了調和形式的概念，並證明了著名的霍奇定理：在一個定向、緊緻黎曼流形上，每一上同調類中有惟一的調和形式。這個定理是複變函數理論中緊緻黎曼面的一些基本結果的一個重大的推廣，它在代數幾何中有重要作用。這兩個定理提供了流形上局部性質與整體性質的聯繫，建立了流形上微分結構、拓撲結構及黎曼結構的深刻的制約關係，具有十分重要的意義。

在黎曼流形的研究中，完備性是一個很重要的概念。在黎曼流形上，兩點之間可以定義距離，因而可成為一個度量空間，這個度量空間在拓撲意義下的完備與任一測地線均可無限延伸（依弧長或仿射參數）這一性質相等價，從而形成了完備黎曼流形的概念。特別，緊緻黎曼流形是完備的黎曼流形。霍普夫與里諾給出了下述結果：完備黎曼流形上每二點均可用一極小測地線相連結，其長度就等於二點的距離。

引進了完備性這一概念后，也推進了對三維歐氏空間曲面論的整體性質的研究。例如：對於曲率為常數的曲面的完備性的研究有：1959年P.哈特曼與L.尼倫伯格證明了完備的可展曲面必為柱面，邁爾斯與李卜曼證明了正常數曲率定向的完備曲面必為球面。

完備性概念對非緊緻黎曼流形的整體幾何研究是十分重要的。

黎曼流形的曲率是微分幾何中最重要的幾何量之一，曲率和流形的拓撲結構之間的聯繫是一個十分重要的問題。美國數學家C.B.艾倫多弗和法國數學家A.韋伊與陳省身用不同的方法將緊緻曲面上的高斯-博內公式擴充到高維曲面和緊緻黎曼流形上去，這是微分幾何上很重大的一項進展。另外，J.（-S.）阿達馬和É.嘉當發現：單連通的、曲率非正的完備黎曼流形必同胚於歐氏空間Rn。這也是極富有啟發性的成果。對於黎曼流形來說，有三種不同層次的曲率，一種是截面曲率，它相應於在每點某一平面方向所相應的曲率。另一種是里奇曲率，它是由截面曲率以適當的形式作和而成。第三種是數量曲率，它是里奇曲率的跡。這三種曲率和流形的拓撲性質之間有很強的相互制約作用，這方面的研究成果非常豐富，而且是微分幾何主要研究方向之一。

嵌入問題是指一個具有某種結構的流形是否可以作為高維歐氏空間的子流形的問題。當只涉及微分結構時，惠特尼在1936年證明了每一個n維的微分流形均可以嵌入到一個2n+1維的歐氏空間中，美國另一數學家C.B.莫利證明了對緊緻的實解析流形這個結果也成立。等距嵌入是研究一黎曼流形是否能與高維歐氏空間的子流形成等距對應的問題。對於局部的等距嵌入，瑞士數學家L.施勒夫利很早就作了下述預測:n維的黎曼流形總可等距嵌入到維歐氏空間中去。1926年法國數學家H.約尼和É.嘉當在黎曼流形上添上解析這一條件時證明了這個預測。因此，作為特例，一個二維的解析黎曼度量總可局部地作為三維歐氏空間中某個曲面的第一基本形式。當流形非解析時，情況相當複雜，至今還是一個研究課題，當曲率K在曲面上變號時，任一個二維黎曼流形是否可局部地等距嵌入到三維歐氏空間，已經有若干結果。黎曼流形的整體等距嵌入定理於1954～1956年由J.納許等所給出：n維黎曼流形總可等距嵌入到歐氏空間E,如流形為緊緻時，則可嵌入到E；如果只考慮C1等距嵌入，則n維黎曼流形可嵌入於；如果M緊緻則可嵌入到。納許的方法後來對非線性分析和非線性偏微分方程的求解產生了重要影響。

在整體微分幾何發展中，纖維叢及其上的聯絡論的產生和發展，佔有顯著的地位。基本的纖維叢有向量叢和主叢，前者包括切叢、餘切叢、張量叢及一般性的推廣，後者是由標架叢抽象而成。在黎曼幾何研究中所產生的列維－齊維塔聯絡被推廣為仿射聯絡、射影聯絡、共形聯絡、……然後形成了一般向量叢或纖維叢上的聯絡論，它以優美的形式把幾何學的群的結構和流形上的微分結構有機地結合起來，陳省身-外爾映射用代數的方法通過聯絡和曲率作出了底流形上的一些上同調類，這種上同調類稱為示性類包括陳示性類，歐拉示性類，龐特里亞金示性類等，它們都能表示纖維叢的拓撲性質。

纖維叢上的聯絡論成為理論物理學家的有力工具，楊振寧和米爾斯所提出的規範場理論是在物理學中形成的纖維叢上的聯絡論，不僅如此，他們對纖維叢上的聯絡提出了一個過去數學家沒有想到過的偏微分方程（后稱為楊-米爾斯方程），這個方程不僅對物理學，而且對純粹數學發生了重大影響。此外，聯絡論中的一些示性類和示性數，也得到了物理學上的解釋，成為物理學中的各種“粒子”數，如“磁單極”數、瞬子數等等。由於這些事實，微分幾何和理論物理的關係就更其密切了，可以說是在愛因斯坦廣義相對論后的一個新的高潮。

微分幾何的研究與發展離不開微分方程，達布的《曲面論》一書就包含了豐富的古典微分方程的內容。É.嘉當和凱勒所發展的外微分方程理論，對於解析函數領域的一大類局部微分幾何問題，給出了一般的有效的方法。

整體微分幾何的發展，需要運用更深入的，現代化的分析工具，特別是偏微分方程理論以及與之有關的非線性分析。

在線性理論中，一個突出的成果是阿蒂亞和辛格的指標定理，緊緻微分流形上的一個線性橢圓運算元的零空間的維數與象空間的維數都是有限數，其差稱為指標，這個定理指出，這種指標可以表示為和流形（或纖維叢）及橢圓運算元有關的拓撲不變數，而過去的黎曼-羅赫定理，希策布魯赫的指標定理等都是它的特殊情形。這個定理對於確定楊-米爾斯方程的解的存在性和其自由度，起了重要作用。此外，流形上的拉普拉斯運算元的特徵值的研究也是一個重要方面。

微分幾何學所遇到的偏微分方程大多是非線性的，調和函數的概念被推廣成黎曼流形間的調和映射，它聯繫於一個推廣的狄利克雷積分的變分問題，其歐拉方程是非線性的橢圓型方程組，J.伊爾斯等人用了多種分析的技巧證明了各種存在性和不存在性定理，近年來,R.舍恩和K.K.烏倫貝克又對廣義解的奇性作了深入的分析。極小曲面理論近年來得到更深入的發展，研究範圍日趨廣泛，而且對流形的拓撲以及廣義相對論中的數學問題均有重要應用。在調和映射、極小曲面，以及其他許多微分幾何問題上，大範圍變分方法成了重要工具，非線性泛函的極小元素或臨界元素的正則性和存在性起了很大作用。如果考慮洛倫茨流形到黎曼流形的調和映射，就歸結為雙曲型偏微分方程的整體解的存在性問題，這方面成果國際上較少，谷超豪證明了閔科夫斯基平面到完備黎曼流形的調和映射的柯西問題的整體存在性定理，某些調和映射在物理學中稱為非線性σ模型，是物理學家獨立地提出的。

有些微分幾何學問題還必須求解“真正”非線性偏微分方程，這是比擬線性方程的非線性程度更高的偏微分方程，其難度更大，突出的事項是丘成桐解決了由卡拉皮所提出的一個猜想，證明了某種愛因斯坦-凱勒流形的存在定理，這需要求解復的蒙日-安培方程，它的非線性程度更高，需要有高度的分析技巧。丘成桐還解決了一系列的其他的與非線性偏微分方程有關的幾何問題。

具有復結構的微分流形特別是凱勒流形在多元複變函數和代數幾何中起著重要的作用。