轉移函數

把具有線性特性的對象的輸入與輸出間的關係，用一個函數（輸出波形的拉普拉斯變換與輸入波形的拉普拉 斯變換之比）來表示的，稱為轉移函數。原是控制工程學的用語，在生理學上往往用來表述心臟、呼吸器官、瞳孔等的特性。

系統的轉移函數與描述其運動規律的微分方程是對應的。可根據組成系統各單元的轉移函數和它們之間的聯結關係導出整體系統的轉移函數，並用它分析系統的動態特性、穩定性，或根據給定要求綜合控制系統，設計滿意的控制器。以轉移函數為工具分析和綜合控制系統的方法稱為頻域法。它不但是經典控制理論的基礎，而且在以時域方法為基礎的現代控制理論發展過程中，也不斷發展形成了多變數頻域控制理論，成為研究多變數控制系統的有力工具。轉移函數中的復變數s在實部為零、虛部為角頻率時就是頻率響應。

轉移函數也是《積分變換》里的概念。對復參數s，函數在的積分，稱為函數f(t)的（雙邊）拉普拉斯變換，簡稱拉氏變換（如果是在內積分，則稱為單邊拉普拉斯變換，記作F(s)，這是個複變函數。

設一個系統的輸入函數為x(t），輸出函數為y(t)，則y(t)的拉氏變換Y(s)與x(t)的拉氏變換X(s)的商：稱為這個系統的轉移函數。

轉移函數是由系統的本質特性確定的，與輸入量無關。知道轉移函數以後，就可以由輸入量求輸出量，或者根據需要的輸出量確定輸入量了。

轉移函數的概念在自動控制理論里有重要應用。

簡單說明一下，下面的描述都是以複數 為變數的。在許多應用中，足以限定 (於是 )，從而將含有復參數的拉普拉斯變換簡化為實參 ω 的傅里葉變換。

那麼，對於最簡單的連續時間輸入信號 和輸出信號 來說，轉移函數 所反映的就是零狀態條件下輸入信號的拉普拉斯變換 與輸出信號的拉普拉斯變換 之間的線性映射關係：

或者在離散時間系統中，應用Z變換，轉移函數可以類似地表示成這常常被稱為脈衝轉移函數。

從微分方程直接推導

考慮一個常係數線性微分方程

其中u和r是t的適當的光滑函數。L是相關函數空間上定義的，將u變換為r的運算元。這種方程可以用於以強迫函數r為變數約束輸出函數u。轉移函數寫成運算元 的形式，是L的右逆，因為。

這個常係數齊次微分方程 的解可以通過嘗試 找到。這個代換會產生特徵多項式

在輸入函數r的形式也為 的時候，非齊次的情形也可以很容易的解決。在那種情況下，通過代入 就可以發現 當且僅當

把那當作轉移的定義需要注意區分實數和複數的差異。這是受到 表示增益，而用 表示相位滯后慣例的影響。轉移函數的其他定義還有例如。

1、轉移函數是一種數學模型，與系統的微分方程相對應。

2、是系統本身的一種屬性，與輸入量的大小和性質無關。

3、只適用於線性定常系統。

4、轉移函數是單變數系統描述，外部描述。

5、轉移函數是在零初始條件下定義的，不能反映在非零初始條件下系統的運動情況。

6、一般為復變數 S 的有理分式，即。且所有的係數均為實數。

7、如果轉移函數已知，則可針對各種不同形式的輸入量研究系統的輸出或響應。

8、如果轉移函數未知，則可通過引入已知輸入量並研究系統輸出量的實驗方法，確定系統的轉移函數。

9、轉移函數與脈衝響應函數一一對應，脈衝響應函數是指系統在單位脈衝輸入量作用下的輸出。

轉移函數主要應用在三個方面。

1、確定系統的輸出響應。對於轉移函數G(s)已知的系統，在輸入作用u(s)給定后，系統的輸出響應y(s)可直接由運用拉普拉斯反變換方法來定出。

2、分析系統參數變化對輸出響應的影響。對於閉環控制系統，運用根軌跡法可方便地分析系統開環增益的變化對閉環轉移函數極點、零點位置的影響，從而可進一步估計對輸出響應的影響。

3、用於控制系統的設計。直接由系統開環轉移函數進行設計時，採用根軌跡法。根據頻率響應來設計時，採用頻率響應法。