可列集

如果一個集合與自然數集合之間存在一一對應，則這個集合稱為可列集(或可數集)。也就是說，存在一個從該集合到自然數集合的雙射（也稱可逆映射）。

1、有限個可列集的並是可列集。

2、可列個可列集的並是可列集。

3、任何可列集的的無窮子集是可列集。

4、任何無窮集都包含一個可列的真子集。

5、一個無窮集並上一個可列集還與其自身等勢。

6、可列集的冪集與實數集等勢。

自然數集、有理數集、代數數集都是可列集。

實數集、複數集、直線點集、平面點集都是不可列集（或不可數集）。

可列集是最小的無限集；它的冪集是不可數集--和實數集存在一一對應（也稱同勢）。所謂冪集，就是原集合中所有的子集（包括全集和空集）構成的集族。

康托第一個認真研究了無限集合，分清了可列集和不可數集的區別，並用對角線法證明了實數集不是可列集。此外，康托指出了冪集的勢總是嚴格大於原集合。由此結論導致了康托猜想（即連續統假設）和康托悖論。

康托猜想：不存在一個集合，它的勢嚴格大於可列集的勢，同時嚴格小於實數集的勢。

邏輯學家歌德爾證明了這個連續統假設是不能被證明的，也不能被證偽--就是說不能從現有的數學公理體系推演出該結論或者否定該結論。

康托悖論：考慮所有的集合組成的最大的集族，這個集族的冪集當然也是集合，所以本身也是該集合的一部分，從而它的勢應該不超過原集合的勢；但是另一方面，冪集的勢有嚴格大於原集合的勢，從而導致矛盾。

羅素首先意識到集合的概念存在問題。他提出所謂的類型論，指出有一類“集合”並不是真正的集合，而是所謂的“類”，集合本身是不能包含自身的；“類”卻可以。從這個角度出發，就可以解釋上述的悖論。

相關問題研究

可列集的另一個定義，以區別可數集

可列和可數在英文里是一個詞：countable，這是以前科學不夠發達，不需要進行區分時的結果。

而現在我們需要進行概念區分，因此按字面意思，將“可列”理解為“可以寫出”；“可數”理解為“可以記數”。在下面的論述中，分這樣兩個概念討論。

我們無法寫出一個最大的自然數，因此自然數全體是不可寫全的，任何無限集，都是不可寫全的。(不可列)

如果有一些數，位數多的我們承認有生之年無法完全比較，而在可比較的範圍內它們又一樣，這樣我們在數元素個數時，不知道它們該算一個元素還是多個元素，這種情況，稱為不可記數。

從定義可以看出，不可寫全的數，如果我們發現它的一部分，和集合中的其它元素都不一樣，我們就知道它是一個獨立元素，就可以記數。而不可記數的數，我們可能可以知道它的數量範圍（最大數量每個算一個元素，最小數量認為只有一個元素），或者也可以知道它們都是可寫的。因此這兩個概念是有交叉而互不影響的。

無理數除了能用有理數表示的和可以定義的，都是不可列的

集合比較的等勢概念，並非統一公認的，很多數學家對此進行了質疑。康托爾對實數集不是可數集的證明，也是被質疑的證明。

設A、B是兩個集，如果存在一個A到B的一一對應，那麼稱集A與集B等勢（或相似、或對等、或等基數），記為A～B，規定空集跟自身等勢。

而等勢的概念是我們建立勢的理論從而對集合進行比較的基礎。

例如，正偶數集合和自然數集，，即可使得兩集合之間建立一一對應，因此他們是等勢的。”

反駁：對等的方法，只能在有限集比較中有效。擴展到無限集是不可信的。

例：“問：某班學生人數與教室的凳子數哪個多？最笨但也最顯然的方法是規定每個學生都去坐在凳子上，而且一個學生只能坐一張凳子。最後，如果有學生沒坐到凳子，那麼便是學生多。如果最後有凳子空著，那麼便是凳子多。”

如果是有限數量，可以用一對一的方法比較，無限數量，不行。

假設來個副校長，要求每兩個學生坐一個凳子，然後他檢查了教室一，教室2，教室三......他看到的每個教室都是如此，後面的教室他認為不用檢查了（或根本不可能檢查完——無窮的概念），於是他宣布，本學校凳子數量，正好是學生數量的一半。

第二天，又來個副校長，要求每個學生坐一個凳子，然後他檢查了教室一，教室2，教室三......他看到的每個教室都是如此，後面的教室他認為不用檢查了（或根本不可能檢查完——無窮的概念），於是他宣布，本學校凳子數量，正好等於學生數量。

兩位自以為是的校長都有可能是對的，也可能是錯的，方法不對。

在有限集的比較過程中，關鍵不在建立了怎樣的對應關係，關鍵在於我們要比較到最後，至少一個集合結束了，而另一個集合中元素數量已經超過對比集合數量，而且還沒結束，我們才能證明一個集合建立的對應關係比另一個集合數量多。

自然數集中可以抽出偶數集，跟偶數集完全一一對應，而自然數集還有剩餘元素，因此我們可以得到結論：自然數集比偶數集多。

現在來證明實數區間[0,1]中所有的實數組成的集合是不可列集。

其實只要證明(0,1]區間的實數集是不可列的。如果它是可列的，說明其中所有的實數均可排列成一數列t1,t2,...,tn,...，只有這樣，它才能對等於自然數集。好，這時我們將(0,1]中的實數用十進位的無限小數表示：

...

...

其中所有的tij都是0～9這十個數字中的某一個。

但是現在我們可以構造一個小數，任意的ai也都是0～9這十個數字中的某一個，但我們讓每個ai都不等於上述實數列中的tii，也就是讓第i位的數字跟數列中第i行第i個數字不同。這是可行的，因為我們用的是十進位小數，還剩下9個不同數字可供選擇呢。

當我們構造好了這樣的一個小數之後，我們發現它實際上跟上述小數列中的任何一個都不相等。這就造成了邏輯上的矛盾，你說已經把所有小數都列出來了，但是我卻發現至少我構造的這個小數，你還沒有羅列出來。就算你亡羊補牢，把我這個也補充進去，但是我還是可以根據同樣規則又構造出另一個。所以，只能說明實數是無法跟可列集形成一一對應的，也就是前面的假設是錯誤的。

因此[0,1]區間的實數不是可列集。同樣，取掉0，1兩個數之後的(0,1)區間的實數也不是可列集。

反駁：無限集都是不可寫全的，比如跟本不能寫出一個(0,1)之間小數位最長的有理數，因此本證明的假設條件不成立，其它一切都無效。除非新構造的不是實數，否則只能證明假設將所有實數列出的假設不成立。所以康托爾對角線證明法不成立。而事實上，如果允許等勢的概念存在，所有無窮集，都等勢。總是你有一個元素，我就能拿出一個元素對應，同樣也都可以你拿1個我拿2個，或相反，你拿2個我拿1個，都是能永遠對應的，沒有盡頭。

這樣一來，康托爾悖論不存在。

定理：無限集的元素是不可能全部寫出來的，連最大元素數量的有限集，或與最大數量有限集差固定常數的集合，也是不可能寫全的。最大元素數量有限集是無限趨近於無限集的，以致於沒有手段進行判斷。任何定義的無限集或有限集都需要滿足此公理。

證明：假設最大有限集元素被全部寫出，我們用自然數集的一部分與該集合的元素一一對應，再增加一個元素，該集合元素數量還是有限的，但元素數量比已寫出的集合元素數量多1，證明原來假設寫出的是數量最多的有限集不成立。所以最大元素數量的有限集，是不可能寫全的。

定理：位數最多的非無限循環有理數是不可能被寫出的，儘管它的定義是有有限位，但它是無限趨近於無理數的，以致於沒有手段進行判斷。

證明：假設位數最多的非無限循環有理數被寫出，我們在這個數的最後再加一位，這個數還是有限位有理數，但位數比已寫出有理數多一位，證明原來寫出的不是位數最多的非無限循環有理數。所以位數最多的非無限循環有理數是不可能被寫出的。