數學分析習題課講義

《數學分析習題課講義(上冊)》是教育部“國家理科基地創建名牌課程項目”的研究成果，其目的是為數學分析的習題課教學提供一套具有創新特色的教材和參考書。《數學分析習題課講義(上冊)》以編著者們近20年來在數學分析及其習題課方面的教學經驗為基礎，吸取了國內外多種教材和研究性論著中的大量成果，非常注意經典教學內容中的思想、方法和技巧的開拓和延伸，在例題的講解中強調啟髮式和逐步深入，在習題的選取中致力於對傳統內容的更新、補充與層次化。《數學分析習題課講義(上冊)》分上下兩冊出版。上冊內容為極限理論和一元微積分，下冊內容為無窮級數和多元微積分。《數學分析習題課講義(上冊)》可作為高等院校理工科教師和學生在數學分析習題課方面的教材或參考書，也可以作為研究生入學考試和其他人員的數學分析輔導書。

序

前言

第一章 引論

1.1 關於習題課教案的組織

1.2 書中常用記號

1.3 幾個常用的初等不等式

1.3.1 幾個初等不等式的證明（3）1.3.2 練習題（7）

1.4 邏輯符號與對偶法則

第二章 數列極限

2.1 數列極限的基本概念

2.1.1 基本定義（12）2.1.2 思考題（13）

2.1.3 適當放大法（14）2.1.4 例題（15）

2.1.5 練習題（17）

2.2 收斂數列的基本性質

2.2.1 思考題（18）2.2.2 例題（18）

2.2.3 判定數列發散的方法（21）2.2.4 練習題（25）

2.3 單調數列

2.3.1 例題（26）2.3.2 練習題（30）

2.4 cauchy命題與Stolz定理

2.4..1 基本命題（31）2.4.2 例題（35）2.4.3 練習題（37）

2.5 自然對數的底e和Euler常數7

2.5.1 與數e有關的兩個問題（38）

2.5.2 關於e的基本結果（38）2.5.3 Euler常數y（43）

2.5.4 例題（44）2.5.5 練習題（45）

2.6 由迭代生成的數列

2.6.1 例題（46）2.6.2 單調性與幾何方法（49）

2.6.3 練習題（52）

2.7 對於教學的建議

2.7.1 學習要點（53）2.7.2 補充例題（54）2.7.3 參考題（55）

第一組參考題（55）第二組參考題（57）

2.8 關於數列極限的一組習題課教案

2.8.1 第一次習題課（60）2.8.2 第二次習題課（62）

2.8.3 第三次習題課（63）2.8.4 第四次習題課（65）

第三章 實數系的基本定理

3.1 確界的概念和確界存在定理

3.1.1 基本內容（67）3.1.2 例題（67）3.1.3 練習題（69）

3.2 閉區間套定理

3.2.1 基本內容（70）3.2.2 例題（71）3.2.3 練習題（72）

3.3 凝聚定理

3.3.1 基本內容（73）3.3.2 例題（73）3.3.3 練習題（74）

3.4 Ca.uchy收斂準則

3.4.1 基本內容（74）3.4.2 基本命題（75）3.4.3 例題（76）

3.4.4 壓縮映射原理（77）3.4.5 練習題（79）

3.5 覆蓋定理

3.5.1 基本內容（80）3.5.2 例題（81）3.5.3 練習題（83）

3.6 數列的上極限和下極限

3.6.1 基本定義（83）3.6.2 基本性質（84）3.6.3 例題（88）

3.6.4 練習題（91）

3.7 對於教學的建議

3.7.1 學習要點（92）3.7.2 一題多解（93）3.7.3 參考題（95）

第一組參考題（95）第二組參考題（96）

第四章 函數極限

4.1 函數極限的定義

4.1.1 函數極限的基本類型（97）

4.1.2 函數極限的其他類型（98）4.1.3 思考題（98）

4.1.4 例題（99）4.1.5 練習題（102）

4.2 函數極限的基本性質

4.2.1 基本性質（103）4.2.2 基本命題（104）

4.2.3 思考題（107）4.2.4 例題（107）4.2.5 練習題（109）

4.3 兩個重要極限

4.3.3 例題（112）4.3.4 練習題（114）

54.4 無窮小量、有界量、無窮大量和階的比較

4.4.1 記號o，O與～（115）4.4.2 思考題（117）

4.4.3 等價量代換法（119）4.4.4 練習題（121）

54.5 對於教學的建議

4.5.1 學習要點（122）4.5.2 參考題（122）

第五章 連續函數

5.1 連續性概念

5.1.1 內容提要（124）5.1.2 思考題（125）

5.1.3 例題（125）5.1.4 練習題（128）

55.2 零點存在定理與介值定理

5.2.1 定理的證明（129）5.2.2 例題（132）

5.2.3 練習題（133）

5.3 有界性定理與最值定理

5.3.1 定理的證明（135）5.3.2 例題（136）

5.3.3 練習題（136）

5.4 一致連續性與Cantor定理

5.4.1 內容提要（137）5.4.2 思考題（138）

5.4.3 Cantor定理的證明（138）5.4 ,4例題（139）

5.4.5 練習題（142）

55.5 單調函數

5.5.1 基本性質（143）5.5.2 練習題（146）

5.6 周期3蘊涵混沌

5.6.1 動力系統的基本概念（147）

5.6.2 Li-Yorke的兩個定理（148）

5.7 對於教學的建議

5.7.1 學習要點（152）5.7.2 參考題（153）

第一組參考題（153）第二組參考題（154）

第六章 導數與微分

56.1 導數及其計算

6.1.1 內容提要（157）6.1.2 思考題（158）

6.1.3 例題（159）6.1.4 練習題（166）

6.2 高階導數及其他求導法則

6.2.1 高階導數計算（167）6.2.2 隱函數求導法（171）

6.2.3 參數方程求導法（174）6.2.4 練習題（176）

6.3 一階微分及其形式不變性

6.3.1 基本概念（177）6.3.2 微分與近似計算（177）

6.3.3 一階微分的形式不變性（179）6.3.4 練習題（180）

6.4 對於教學的建議

6.4.1 學習要點（181）6.4.2 參考題（181）

第一組參考題（181）第二組參考題（183）

第七章 微分學的基本定理

7.1 微分學中值定理

7.1.1 基本定理（185）7.1.2 導函數的兩個定理（193）

7.1.3 例題（196）7.1.4 練習題（200）

7.2 Taylor定理

7.2.1 基本定理（203）7.2.2 例題（209）

7.2.3 Euler數與Bernoulli數（214）7.2.4 練習題（218）

7.3 對於教學的建議

7.3.1 學習要點（220）7.3.2 參考題（221）

第一組參考題（221）第二組參考題（223）

第八章 微分學的應用

58.1 函數極限的計算

8.1.1 L'Hospital法則（226）

8.1.2 Taylor公式與極限計算（229）8.1.3 練習題（234）

8.2 函數的單調性

8.2.1 例題（235）8.2.2 練習題（238）

8.3 函數的極值與最值

8.3.1 例題（239）8.3.2 練習題（242）

58.4 函數的凸性

8.4.1 基本命題（243）8.4.2 練習題（249）

8.5 不等式

8.5.1 例題（250）8.5.2 用凸性證不等式（255）

8.5.3 練習題（258）

58.6 函數作圖

8.6.1 例題（261）8.6.2 練習題（263）

8.7 方程求根與近似計算

8.7.1 迭代演演算法的收斂速度（264）

8.7.2 Newton求根法（268）8.7.3 練習題（272）

8.8 對於教學的建議

8.8.1 學習要點（272）8.8.2 參考題（274）

第一組參考題（274）第二組參考題（275）

第九章 不定積分

9.1 不定積分的計算方法

9.1.1 內容提要（278）9.1.2 思考題（278）

9.1.3 基本計算方法（279）9.1.4 例題（281）

……

第十章 定積分

第十一章 積分學的應用

第十二章 廣義積分