積分幾何

integral geometry

數學中通過各種積分研究圖形性質的一門學科，本質上屬於整體微分幾何範疇。

起源於幾何概率的研究，發展也始終與幾何概率相聯繫。幾何概率的研究以圖形集合的測度為基礎，因而導致積分幾何的建立。最早的幾何概率問題是G.-L.-L.de布豐提出並予以解決的投針問題，19世紀後期，M.W.克羅夫頓已得到 了一系列的積分公式，這些至今仍是積分幾何中的基本公式。同時，J.L.F.貝特朗發現，對於同一個幾何概率問題，因測度的不同導致相互矛盾的解答。後來，H.龐加萊指出，只須要求所採用的測度在一定變換群下不變，矛盾就會避免。於是，幾何概率與變換群結合形成了積分幾何的基礎。1935年W.布拉施克與他的合作者發表了一系列論文，積分幾何開始作為幾何的一個分支得到系統而深入的發展。由於積分幾何與概率以及統計緊密相聯繫，故在許多學科中都有應用。積分幾何的研究是從歐幾里得平面和三維歐幾里得空間開始的，以後推廣到高維歐幾里得空間和非歐幾里得空間，最後歸結為滿足一定條件的齊性空間。常曲率空間的積分幾何主要有：歐幾里得平面的積分幾何；幾維歐幾里得空間的積分幾何；非歐空間的積分幾何及齊性空間的積分幾何等。