線性微分方程的非線性擾動

《現代數學基礎叢書》序

第二版前言

第一版前言

第1章　半線性微分方程的現代方法簡介

1.1　線性微分方程

1.2　Sobolev空間與嵌入定理

1.3　單調運算元

1.4　同胚的充分條件

1.5　常用的不動點定理

1.6　含參方程的解集連通理論

1.7　延拓定理

1.8　變分方法

1.9　正運算元理論

1.10　分歧理論

附註Ⅰ

第2章　線性方程的不跨特徵值擾動

2.1　不跨特徵值問題研究概況

2.2　抽象方程·漸近一致·minimax方法

2.3　常微分方程組的周期解·漸近非一致·Hadamard反函數定理

2.4　波方程·漸近非一致·Mawhin延拓定理

2.5　橢圓方程·漸近非一致·鞍點約化法

2.6 Duffing方程·漸近非一致·相平面分析法

2.6.5 Duffing方程2π－周期解的唯一性

附註Ⅱ

第3章　線性方程的跨特徵值擾動

3.1　Landesman和Lazer的結果·有界非線性項·臨界點理論

3.2　多解定理·有界非線性質·映射同胚的條件

3.3　橢圓方程·有界非線性質·集連通技巧

3.4　兩點邊值問題·漸近一致條件·延拓定理

……

第4章　強共振和帶周期非線性項的共振

第5章　特徵線問題及其擾動

第6章　非線性常微分方程邊值問題的正解

第7章　分歧理論在非線性常微分方程邊值問題中的應用

參考文獻

第1章 半線性微分方程的現代方法簡介

在線性微分方程理論中，一個方程的解往往可以藉助多種不同的方法得到。本書討論帶有非線性擾動的線性微分方程的解的存在性。對於一個具體的方程，也常常試圖利用多種不同的方法進行研究，所以首先對半線性微分方程的現代方法作簡單介紹。1.1節介紹本書所論及的幾類重要的微分方程及Fredholm抉擇在線性微分方程中的應用；1.2節簡介Sobolev空間。Sobolev空間是非線性分析應用到微分方程問題中去的橋樑。這部分內容已有許多著作可供閱讀。為了方便查閱，僅給出了定義和幾個嵌入定理；在1.3-1.10節中，分別羅列單調運算元理論、不動點理論（如扭轉映射的不動點定理、Schauder不動點定理等）、拓撲度理論（如Leray-Schauder原理、Mawhin延拓定理等）、臨界點理論、集連通理論、正運算元理論及分歧理論等方面的主要結果。這裡僅挑選出以後諸章最必要的材料，而略去證明。對於已經熟悉了這些材料的讀者，可越過這幾節；對於想了解證明過程的讀者，可根據出處參閱有關著作。

……