不動點理論
關於方程的一種一般理論
不動點理論是關於方程的一種一般理論。
確定映射在某條件下存在不動點的定理稱為不動點定理。
各種不動點定理構成不動點理論的基本內容。
(C.(C.-)É.皮卡(1890)；S.巴拿赫（1922）)：設X是一個完備的度量空間，映射ƒ:Χ→Χ 把每兩點的距離至少壓縮λ倍，即d（ƒ（x），ƒ(y))≤λ d(x,y)，這裡λ是一個小於1的常數，那麼ƒ必有而且只有一 個不動點，而且從Χ的任何點x0出發作出序列 這序列一定收斂到那個不動點。這條定理是許多種方程的解的存在性、惟一性及迭代解法的理論基礎
數學里到處要解方程，諸如代數方程、函數方程、微分方程等等，種類繁多，形式各異。但是它們常能改寫成ƒ()=的形狀，這裡是某個適當的空間中的點，ƒ是從到的一個映射或運動，把每一點移到點ƒ()。方程ƒ()=的解恰好就是在ƒ這個運動之下被留在原地不動的點，故稱不動點。於是，解方程的問題就化成了找不動點這個幾何問題。不動點理論研究不動點的有無、個數、性質與求法。研究方法主要是拓撲的和泛函分析的（見非線性運算元）。常見的不動點定理壓縮映射原理(C.(C.-)É.皮卡(1890)；S.巴拿赫（1922）)：設是一個完備的度量空間，映射ƒ:→把每兩點的距離至少壓縮λ倍，即（ƒ（），ƒ())≤λ(,)，這裡λ是一個小於1的常數，那麼ƒ必有而且只有一個不動點，而且從的任何點出發作出序列，這序列一定收斂到那個不動點。
例題：
開方：
公式：X(n+1）=Xn+（A/Xn^2-Xn）1/3設A=5，開3次方
5介於1^3至2^3之間（1的3次方=1，2的3次方=8）
X_0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我們取2.0.按照公式：
第一步：X1={2.0+[5/(2.0^2-2.0]1/3=1.7.}。即5/2×2=1.25，1.25-2=-0.75，0.75×1/3=0.25，輸入值大於輸出值，負反饋2-0.25=1.75，取2位數值，即1.7。
第二步：X2={1.7+[5/(1.7^2-1.7]1/3=1.71}.。
即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，輸入值小於輸出值正反饋1.7+0.01=1.71。取3位數，比前面多取一位數。
第三步：X3={1.71+[5/(1.71^2-1.71]1/3=1.709}輸入值大於輸出值，負反饋
第四步：X4={1.709+[5/(1.709^2-1.709]1/3=1.7099}.輸入值小於輸出值正反饋
這種方法可以自動調節，第一步與第三步取值偏大，但是計算出來以後輸出值會自動轉小；第二步，第四步輸入值偏小，輸出值自動轉大。X_4=1.7099.
當然也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一個。
設是歐氏空間中的緊凸集，那麼到自身的每個連續映射都至少有一個不動點。用這定理可以證明代數基本定理：復係數的代數方程一定有複數解。把布勞威爾定理中的歐氏空間換成巴拿赫空間，就是紹德爾不動點定理(1930)，常用於偏微分方程理論。這些定理可以從單值映射推廣到集值映射，除微分方程理論外還常用於對策論和數理經濟學。
不動點指數不動點的個數有兩種數法。代數上通常說次復多項式有個復根，是把一個重根算作個根的；如果不把重數統計在內，根的個數就可以小於n。推廣根的重數概念，可以定義不動點的指數，它是一個整數，可正可負可零，取決於映射在不動點附近的局部幾何性質。一個映射的所有不動點的指數的總和，稱為這映射的不動點代數個數，以別於不動點的實際個數。
設是多面體：→是映射，那麼ƒ的不動點代數個數等於ƒ的萊夫謝茨數(ƒ)，它是一個容易計算的同倫不變數，可以利用同調群以簡單的公式寫出。當(ƒ)≠0時，與ƒ同倫的每個映射都至少有一個不動點。這個定理既發展了布勞威爾定理，也發展了關於向量場奇點指數和等於流形的歐拉數的龐加萊－霍普夫定理，把它進一步推廣到泛函空間而得的勒雷－紹德爾參數延拓原理，早已成為偏微分方程理論的標準的工具。
1927年發現，一個映射ƒ的全體不動點可以自然地分成若干個不動點類，每類中諸不動點的指數和都是同倫不變數。指數和不為0的不動點類的個數，稱為這映射的尼爾斯數(ƒ)。只要是維數大於2的流形，(ƒ)恰是與 ƒ同倫的映射的最少不動點數。這就提供了研究方程的解的實際個數（而不只是代數個數）的一種方法。
萊夫謝茨定理的一個重要發展是關於微分流形上橢圓型運算元與橢圓型復形的阿蒂亞－辛格指標定理與阿蒂亞-博特不動點定理。
不動點的計算上述各種不動點定理，除壓縮映射原理外，都未給出不動點的具體求法。由於應用上的需要，不動點演演算法的研究正在蓬勃發展，以求把拓撲的思路落實為快速、實用的計算方法。
一般經濟均衡理論是數理經濟學的中心論題, 其問題的提出可追溯到Adam Smith於1776年在他的名著《國富論》中寫下的那段名言:
“每人都在力圖應用他的資本, 來使其生產品能得到最大的價值. 一般地說, 他並不企圖增進公共福利, 也不知道他所增進的公共福利為多少. 他所追求的僅僅是他個人的安樂, 僅僅是他個人的利益. 在這樣做時, 有一隻看不見的手引導他去促進一種目標, 而這種目標決不是他所追求的東西. 由於追求他自己的利益, 他經常促進了社會利益, 其效果要比他真正想促進社會利益時所得到的效果為大。”
Adam Smith在這裡提出一個意義十分深遠的問題: 假設有一個包含許許多多小系統的大系統, 大系統有其總目標, 小系統也各有各的小目標. 那麼, 是否可能存在一隻“看不見的手”來對各小系統進行引導, 使得每個小系統都只需追求各自的小目標最優, 就能使大系統的總目標達到最優。
很明顯, 這樣的問題在社會科學與 自然科學的許多地方都會遇到. 但是, Adam Smith本人並未對問題作這樣的理解, 更沒有把問題表達成一種數學的形式。
直到1874年, 法國經濟學家Leon Walras在其著作《純粹經濟學要義》中才把Adam Smith的觀點進一步提成今天所說的一般經濟均衡問題. Walras首先把“看不見的手”解釋為價格體系, 而“社會利益”則被理解為供需平衡. 於是他提出的問題就有下列形式: 是否存在一個價格體系(稱為均衡價格體系), 使得消費者在滿足預算約束條件下得到最大的效用, 生產者在生產技術條件和水平下取得最大的利益, 而且供給和需求恰好相等, 即達到一般經濟均衡. Walras還把他的一般經濟均衡理論表達為非線性 方程組. 他自以為這樣的方程組必有解, 但沒有給出解的存在性的 數學證明, 留下一個待解決的數學問題: 怎樣來嚴格陳述和怎樣來嚴格證明Walras一般經濟均衡的存在性?
在此後的一個多世紀中, 許多數理經濟學家投入了一般經濟均衡的研究. 1924年, 瑞典經濟學家Gustave Cassel人為地作了 線性假設, 把模型修正為線性模型, 並使用不等式, (稱為Walras-Cassel模型). 羅馬尼亞數學家Abraham Wald還給出Walras-Cassel模型的一般經濟均衡存在的嚴格 數學證明. 但是這個模型除了作了缺乏一般性的線性假設外, 還假設價格很高時需求仍然是正的, 這在經濟學上無法接受, 所以它不能作為一般經濟均衡的理論基礎。
直到1954年, Arrow和Debreu[2,3]在一些具有明確經濟學意義的假設條件下, 用數學公理化方法深刻表述該問題, 利用Brouwer 不動點定理和Kakutani不動點定理, 嚴格證明了Walras經濟的一般均衡的存在性和最優性, 使得那隻“看不見的手”成為縝密的科學體系, 使得經濟學形成了一個統一的方法論和分析框架. 他們分別於1972年和1983年獲得了經濟學Nobel獎。
近些年來, 經濟形勢發生了深刻的變化, 生產規模擴大, 壟斷勢力增強, 人們要談判、合作、討價還價, 但所有這一切都建立在個人理性的基礎之上, 建立在競爭的基礎之上. 隨著這種競爭的日益加劇, 各種策略和利益的對抗、依存和制約, 使博弈論(主要是非合作博弈, 而非合作博弈理論中最重要、最核心的概念是Nash均衡)達到了全盛時期, 由它的概念、內容思想和方法出發, 已經並將繼續幾乎全面地改寫經濟學, 也並將得到更加廣泛的應用。
Von Neumann就零和(所有局中人的收支和為零)的情況證明了 非合作博弈均衡點的存在, 在1944年宣告了博弈論的誕生。
1950年, Nash考慮了 人非零和的情況, 他研究了 人有限非 合作對策(每個局中人的純策略均為有限個, 均考慮混合策略), 分別應用Brouwer不動點定理和Kakutani不動點 定理證明了Nash均衡的存在性[5,6].這一模型實際上假定：
(1)對每個局中人來說, 所有信息都是公共的、完全的、對稱的；
(2)每個局中人都是完全理性的, 都能在各自策略集中選擇對自己最有利的策略.
對應用來說, 以上兩個假設太理想了, 也太苛刻了, 因為它要求每個局中人都是神——無所不知且無所不能. 因此, 相當一段時間以來, 關於博弈論的研究就主要是數學家們的“專利”, 大量的論文也主要發表在數學雜誌上, 經濟學家們並沒有表現出很大的興趣和很高的熱情, 而數學家們則總在日夜辛勞, 不斷地改進和推廣著各種定理。
Harsanyi和Selten的工作分別在這兩個方面提出了新的思想, 大大擴展了博弈論的應用(他們二位都是有數學背景的經濟學家), 正因為如此, 他們才與Nash一起, 獲得了1994年的經濟學Nobel獎。
設C是R中的緊凸集, f為從C到C的非空凸子集的上半連續的點-集映射，則至少存在一點x*, 使得x*∈f(x*)。1941年，Kakutani把Brouwer不動點定理推廣到有限維空間中多值映射的情形。