施瓦茲不等式

設為內積空間，對任意的，不等式都成立，這個不等式稱為施瓦茲不等式。

由施瓦茲不等式就可以如同歐幾里得空間一樣，在內積空間中引入兩個向量的夾角和垂直正交的重要概念，而在一般賦范線性空間中無法引進這些概念。

內積空間是具有內積運算的線性空間，是n維歐氏空間的無限維推廣。

設K是實數域或複數域，H是K上線性空間，如果對H中任何兩個向量x,y，都對應著一個數，滿足條件：

1.(共軛對稱性)對任意的，有 。

2.(對第一變元的線性性)對任何，有。

3.(正定性)對一切，有且，這時(·,·)稱為H中的內積，而稱H為(實或復)內積空間，或准希爾伯特空間。