譜序列

讓·勒雷當初為了研究代數拓撲學，而引入層的概念，從而面臨計算層上同調的問題。為此，勒雷發明了現稱勒雷譜序列的計算方法，它聯繫了一個層的上同調群與其正像的上同調群。

人們很快就發現：勒雷譜序列只是一個特例。譜序列還現身於纖維化等幾何問題；更抽象地說，對合成函子取導函子也會得到譜序列，稱為格羅滕迪克譜序列。雖然導範疇在理論層面提供了較簡煉的框架，譜序列仍是最有效的計算工具。

以下固定一個阿貝爾範疇，常見例子是一個環上的模範疇。譜序列是一個非負整數 及下述資料：

對所有整數，有範疇中的一個對象。

自同態，滿足，稱為邊界映射或微分。

從 到 的同構。

通常省去 與 的同構，而寫成等式。

最基本的例子是鏈復形，它帶有一個微分。取，並令，於是必有；這個新鏈復形上的微分只有一個自然的選擇，就是零映射。於是有。綜之，我們得到一個鏈復形範疇上的譜序列：

由於只有 時微分映射才可能非零，此序列在第一步后就不含任何新資訊。

較常見的是雙分次模（或層）範疇上的譜序列，表作，此時的微分映射次數與 有關：對於上同調譜序列，的次數是。對於同調譜序列，通常將各項寫成，微分映射 的次數是。

譜序列之間的態射 定義為一族態射，使之與同構 交換。譜序列對此構成了一個阿貝爾範疇。

交換代數中大部分的譜序列來自鏈復形，而已知構造譜序列最有力的方法是 William Massey 的正合偶。正合偶在代數拓撲學中很常見，此時對於許多譜序列，正合偶是唯一已知的構造法。事實上，正合偶可以用來構造所有已知的譜序列。

同樣固定一個阿貝爾範疇（通常取一個環上的雙分次模） ，一個正合偶是：

一對對象 三個態射：使之滿足下述正合條件：

將這組資料簡記為。正合偶通常以三角形表示。對應到譜序列的 項，而 是一些輔助資料。

為了得到譜序列的後續項，以下將構造導出偶。令：

由導出。

定義如下：若為某個環上的模範疇，對任一，存在使得，定義為在中的像。一般而言，可利用 Mitchell 嵌入定理構造態射。

可以驗證構成正合偶。對應到譜序列的項。續行此法，可以得到一族正合偶。相應的譜序列定義為，。

在第一個簡單的例子中，譜序列在後的微分映射皆為零，故不再改變。這時可定義該譜序列的極限為。對於一般的譜序列，也往往存在一個極限，極限與各項的關係可說是譜序列的眾妙之門。

定義：若譜序列對每個都存在，使得當時，及皆為零，則稱之極限項為（取充分大的）。最常見的例子是集中在第一象限的譜序列，此時極限項恆存在。

其中的指標指涉過濾結構。

若存在對象、過濾結構，及一族同構，滿足（這種過濾稱為“正則過濾”），則稱收斂到，通常表為下述符號：

習慣上，人們也常將上式寫成，因為譜序列中最重要的頁往往是。

最簡單的收斂特例是退化：

定義：固定，若對每個，微分映射都是零，則稱該譜序列在第頁退化。

退化性保證了，此時即其極限。如果一個雙分次譜序列的非零項集中於某一條水平或垂直線上，則必在時退化。