換元積分法

換元積分法是求積分的一種方法。它是由鏈式法則和微積分基本定理推導而來的。

在計算函數導數時。複合函數是最常用的法則，把它反過來求不定積分，就是引進中間變數作變數替換，把一個被積表達式變成另一個被積表達式。從而把原來的被積表達式變成較簡易的不定積分這就是換元積分法。換元積分法有兩種，第一類換元積分法和第二類換元積分法。

第一類換元法，也稱為湊微分法，推導過程如下：

設 在 上有定義，在 上可導，且， ，並記， 。

若 在 上存在原函數，則 在 上也存在原函數， ，即

在使用時，也可把它寫成如下簡便形式：使用這種方法的關鍵在於將 湊成，以及 的原函數容易獲得，下面通過一個例子來講解：

求

解：

設 在 上有定義，在 上可導，且， ，並記， 。

若， ，則當 在 上存在原函數 時，在 上也存在原函數，且，即

(其中 是 的反函數)

此時觀察這兩類換元法的定理公式，發現它們是互相可逆的。

計算積分。

其中換元為後，亦變為，是因為其形式為黎曼－斯蒂爾傑斯積分，但在黎曼－斯蒂爾傑斯積分中變數的取值範圍應該還是x的取值範圍，而不是的取值範圍。