混沌動力學

混沌動力學是複雜性科學的一個重要分支，也是近三十年來的一個熱門學科。混沌（Chaos）是指發生在確定性系統中的貌似隨機的不規則運動。一個確定性理論描述的系統，其行為卻表現為不確定性、不可重複、不可預測，這就是混沌現象。混沌是非線性系統的固有特性，是非線性系統普遍存在的現象，牛頓確定性理論能夠處理的多維線性系統，而線性系統大都由非線性系統簡化而來。因此，在現實生活和實際工程技術問題中，混沌是無處不在的。

混沌運動的動力學特性已經被證明在描述和量化大量的複雜現象中非常有用，其中包括電子電路的動力學特性。但是，由於混沌系統所固有的系統輸出對狀態初值的敏感性以及混沌系統和混沌現象的複雜性和奇異性，使得混沌控制理論的研究更具有挑戰性，也使得這一領域的研究和發展成為當代非線性科學的研究熱點。

混沌現象最初是由美國氣象學家洛倫茨，在20世紀60年代初研究天氣預報中大氣流動問題時偶然發現的。1963年，Lorenz在《大氣科學》雜誌上發表了“決定性的非周期流”一文，指出在氣候不能精確重演與長期天氣預報者無能為力之間必然存在著一種聯繫，這就是非周期與不可預見性之間的聯繫。他還發現了混沌現象“對初始條件的極端敏感性”。這可以生動的用“蝴蝶效應”來比喻：在做氣象預報時，只要一隻蝴蝶扇一下翅膀，這一擾動，就可能在很遠的另一個地方造成非常大的差異甚至引起風暴，將使長時間的預測無法進行。

許多其它學者為混沌理論的進展做出了不可磨滅的貢獻。美國數學家J.York與他的研究生T.Ylie在1975年的論文“周期3則混沌（Chaos）”中首先引入了“混沌”這個名稱。1971年法國科學家羅爾和托根斯從數學觀點提出納維-斯托克司方程出現湍流解的機制，揭示了准周期進入湍流的道路，首次揭示了相空間中存在奇異吸引子，這是現代科學最有力的發現之一。1976年美國生物學家梅在對季節性繁殖的昆蟲的年蟲口的模擬研究中首次揭示了通過倍周期分岔達到混沌這一途徑。1978年，美國物理學家費根鮑姆重新對梅的蟲口模型進行計算機數值實驗時，發現了稱之為費根鮑姆常數的兩個常數。這就引起了數學物理界的廣泛關注。與此同時，曼德爾布羅特用分形幾何來描述一大類複雜無規則的幾何對象，使奇異吸引子具有分數維，推進了混沌理論的研究。20世紀70年代後期科學家們在許多確定性系統中發現混沌現象。

在確定性的系統中發現混沌，改變了人們過去一直認為宇宙是一個可以預測的系統的看法。用決定論的方程，找不到穩定的模式，得到的卻是隨機的結果，徹底打破了拉普拉斯決定論式的“因果決定論可預測度”的幻想。而混沌理論則研究如何把複雜的非穩定性事件控制到穩定狀態的方法。

混沌理論作為一個科學理論具有三個關鍵概念，或者說是三個特性：初值敏感性、分形（fractals）和奇異吸引子。

初值敏感性（蝴蝶效應）：混沌現象揭示了現實世界不可琢磨的複雜性，從而給科學決定論以打擊。混沌理論指出的某些系統，只要初始條件稍有偏差或微小的擾動，則會使得系統的最終狀態出現巨大的差異。因此混沌系統的長期演化行為是不可預測的。這一點常常被通俗地稱為蝴蝶效應。

分形（fractals），是著名數學家Mandelbrot創立的分形幾何理論中的重要概念。意為系統在不同標度下具有自相似性質。自相似性意味著遞歸，即在一個模式內部還有一個模式，可產生出具有結構和規則的隱蔽的有序模式。

吸引子是系統被吸引並最終固定於某一狀態的性態。有三種不同的吸引子控制和限制物體的運動程度：點吸引子、極限環吸引子和奇異吸引子（即混沌吸引子或洛倫茲吸引子）（如左圖）。點吸引子與極限環吸引子都起著限制的作用，使系統產生靜態的、平衡的特徵，故也稱收斂性吸引子。奇異吸引子使系統偏離收斂吸引子的區域，誘發不同形態。它具有複雜的拉伸、折迭與伸縮的結構，可以使指數型發散保持在有限的空間中；它使系統變為非預設模式，從而使系統成為不可預測性的。

天然存在的系統（物理系統、化學系統或生物系統）能呈現混沌，這一點目前已得到普遍共識，並引起了許多學者在實驗室里或在自然狀況下對混沌識別進行嘗試，現今用來識別混沌方法主要有三種：利用功率波、相空間重構及李雅譜諾夫指數法。其中應用較為廣泛的是第三種方法。

李雅譜諾夫指數（LyapunovExponent）是有關非線性動力學中定量刻劃複雜動力學性態的最常用的一個量，它用來量度動力學性態的規則性程度。由於混沌系統的初值敏感性，那些初始狀態比較接近的軌跡總體上會指數發散，李雅譜諾夫指數描述了這種軌跡收斂或發散的比率，當一個系統中同時存在正的和負的李雅譜諾夫指數時，便意味著混沌的存在。

混沌已經被證明是一種普遍現象，但進行研究混沌現象有什麼樣的現實意義呢？各個領域的學者都在嘗試混沌理論的應用。

天文學方面：先輩們認清了火星、木星間小行星帶的Kirkwood間隙起源問題，這些間隙相應於小行星混沌的運行軌道。Laskar給出了行星內部的混沌運動圖像，推翻了太陽系穩定的觀點。太陽系中地球混沌的特徵時間大約是5百萬年。

生理學：Berkeley的California的WalterFreeman說腦子利用混沌作為等待狀態，他說：人類腦電圖（EEG）的研究表明，當一位受試者在接受或處理信息時，腦電波圖會變得有序，其餘的腦研究者正在通過分析混沌的腦電圖的圖形尋找預報癲癇發作的方法。

國際政治學：Wayne州立大學為敵對的兩個國家之間的軍備競賽編製了一個模型，一個兩國都有反導彈防禦系統模型實驗表明，局勢是混沌和不穩定的，最終將導致戰爭。

但是應該看到，與各種混沌理論研究的百花齊放的場面不大協調的是，混沌理論應用於解決當今系統中出現的各種現實問題的成果並沒有那麼璀璨。混沌理論的應用，特別是在經濟領域的應用還存在許多爭議。可以預見，混沌學今後最具價值的研究方嚮應該在其應用領域。

有的科學家對混沌理論評價很高，認為“混沌學是物理學發生的第二次革命”。但有的人認為這似乎有些誇張，認為它的應用前景有待進一步揭示。但混沌理論研究同協同學、耗散結構理論緊密相關。它們在從無序向有序和由有序向無序轉化這一研究主題中有共同任務。在今後很長一段時間內，混沌動力學仍會是一門極具活力的學科。